Art. 131.
123
durch einen Punkt. Also (7, 8, 9) gehen
[Ã₁ ý], [R₁ U½], [M'M"]
durch einen Punkt; demnach liegen
([A, R₁)] [A, U₂]) = A。,
(10)
in einer Geraden, oder es gehen
zu setzen.
([A¸M″][A, M′]) = N,
([R₁ M"] [U₂M']) = L
durch einen Punkt L. Infolgedessen liegen
([AR₁] [NA₂]) = S₁, ([A, U₂] [NA₁]) = W₂, ([R₁U₂][4,4,])
in einer Geraden, oder es gehen
(11)
[S₁ W₂], [R₁ U₂], [4, A₂]
durch einen Punkt. Aus (9) und (11) folgt schließlich, daß
[S₁W₂], [E, P₂], [ø½]
4₂]
durch einen Punkt gehen, was zu beweisen war.
131. Satz: Sind A, A, E, F, harmonische Punkte, so ist
(E₁F₁A₁₁) = - 1
1
andererseits ist
also nach 121
oder
[A。N], [R₁Aq], [U₂A₁]
Beweis: Es ist einerseits
-
(E₁ F¸ à ¸) = (E, F₂ ¸½);
2
(E₁ F₁ ¸ ø) = (F½ E‚ ø½),
1
(E₁ F₁ A¸A₁)² = 1
((E, FAA)-1) ((E, F₁ A¸ A₁) + 1) = 0.
Da aber EF₁, also (E₁ F₁A。 A₁) +1 (nach 119, 121), so muß
mit Rücksicht auf 128
sein.
(E₁ F₁₁₁)
1
=
1
Dasselbe ist geometrisch zu beweisen, denn ist (s. Fig. S. 124)
(F₁ E₁ ¸ ø) + (E, E‚ ø ý) = (S' E' ¸ Ã')
1
2
für S' ([AF] [AE]), so gibt der Desarguessche Satz für die
Dreiecke A, E, E₁ und AFF₂, daß
2
2
S' = ([A₁ E₂] [A, F₁]),
in einer Geraden liegen.
A。= ([Â₁E₁][Å‚F₂]),
Demnach ist A′ =
(S'E' A。A') = 0,
A' E'
E = ([E₁ E₂] [F₁ F₂])
E, also (127)
=