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II. Projektive Geometrie.
1 1
Á A₁ Ž P ₁ Q₁ P 2 Q2S'S" des Satzes 124 überein, also geht [U'V']
durch E, also ist
(U' E''' A¸A″) = (V′E¹ øù),
d. h.
(p + q) + r =
r = (p + r) + q ;
daraus folgt mit Benutzung von 124:
(p + q) + r = (q + y) + r = (q + r) + p = p + (q + r).
127. Satz: Es muß (A, E, A,A₁)
0
O gesetzt werden; es ist
(APA A)
(øи¸ø) = (Ao Q₁ 40 4₁) = (Q₁ ¸¸Â₁)
0
(P₁‡A。, ‡ A₁, Q1 ‡ A。, ‡ A₁),
1
und es gibt keine andern Würfe, welche als Summanden eine Summe
unverändert lassen.
Beweis: Damit
==
(P₁Е₁¸Ã₁) + (Q₁ E₁ ¸Ã₁) = (P₁Е¸ø)
(PEA A)
1
1
0
=
ist, muß S' ([A₁P₂][A,Q1]) in [P₁P₂], also in P, liegen; dann ist
2
Q₁ = ([Ą。4₁] [A₂S′]) = A。.
Es ist
(øP₁¸ø) = (A。 Q2 A。A₂)
nach Definition; ebenso
(AP₁Аo Д₁) = (Q2 A2 A。 Ag),
0
da [AoQ₂], [P₁A] durch einen Punkt (4) von [A₁₂] gehen.
1
128. Satz: Ist das Produkt zweier Würfe Null, dann ist wenigstens
einer der Faktoren Null; d. h. für das System der Würfe besteht
das Gesetz B (s. I 76 S. 23).
Beweis: Ist
(P₁ Q₁ ¸Â₁) (Q₁ R₁ ¸Â₁) = (P₁R₁ ¸ ø) = 0,
A)
dann (127) entweder P₁ A oder R₁ = A,, und im ersten Fall ist
(P₁ Q₁ ø Ã₁) = 0, im zweiten (Q₁ R₁ ¸ Ã₁) = 0.
1
129. Satz: Für die Addition 123 und Multiplikation 119 der
Würfe gilt das erste distributive Gesetz:
r (p + q) = rp+rg. (S. Fig. S. 119.)
=
Beweis: Es sei
2
2 0
p = (P₁Е₁ ¸ø) = (P₂ Е‚Â¸Â½), q = (Q₂E, A。 A₂), r =
p + q = (S₂ E₂ AA), S′ = ([A, Q₂] [A₂ P₁]),
2
(R₁ Е₁ ¸Ã₁)
rp = (T₁ Е₁ ¸Ã₁) = (T₂Е½ ø½), rq = (U₂ E, A。 A2)
1
rp + rq = (W₂E‚¸½), W' = ([A₁ U₂] [A, T₁]),
2