Art. 123-124.
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123. Definition: Die Summe zweier Würfe wird erklärt durch
(P₁ E₁ ø¹₁) + (Q₂ E½ øý) = (S′ E' øÃ'′),
0
2 0
WO
S' = ([A, P¸], [A, Q₁]), E' = ([A。S'][E₁E₂]), A' = ([A¸§′] [‚])
2
ist (s. Fig.).
124. Satz: Die
Addition 123 der Würfe
ist kommutativ (s. Fig.).
Beweis: Sei
(P₁E₁₁₁)
=
(Q₂ E A A₂)
=
(PE, A42)
(Q₁ E₁ A A₁)
(P₁E₁A4₁)
+ (Q₂ E₂ Ao A2)
2
= (S'E'A A')
(Q₁ E₁ 44₁)
+ (P₂ E₂ AA₂)
2
(S" E" AA"),
so ist zu zeigen, daß
(S' E' AA')
=
(S" E" A。 A″)
ist, d. h. daß [S'S"]
durch
A
E2
E
ON
P
P
'S"
Q
A
E
E = ([E₁ E₂] [A₁ 4₂]) = ([P₁ P₂] [Q1 Q2])
geht.
Es gehen [4,4,], [P₁ P₂], [Q1 Q2] durch einen Punkt E, also
liegen nach dem Desarguesschen Satze
Satz, nämlich im projektiven Fundamentalsatz, bereits vorausgesetzt, wodurch
sich die Beweise der assoziativen, kommutativen und distributiven Gesetze wesent-
lich einfacher gestalten. Dagegen wird der Pascalsche Satz nicht vorausgesetzt
in Hilberts Streckenrechnung (Grundlagen § 24, 25, 26), die sich aus obiger
Wurfrechnung durch ,,affine" Spezialisierung ergibt, indem man die unendlich
ferne Gerade als Gerade [A, A2] nimmt. Bei von Staudt und bei Hilbert fehlt der
Nachweis des Gesetzes B. Eine neue Wurfrechnung, die die obige umfaßt,
ergibt sich später in der affinen Geometrie.
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