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II. Projektive Geometrie.
Ist erstens u
μ
also
-
=
α
1
2, so ist:
α
(1, 1, 2) +
also liegen die drei Punkte in einer Geraden.
Ist aber uλ, so hat man aus den drei Gleichungen
α
« + ß (1 −
α
Jee
1
μ
1 )
ß ( 1 − 1 )
β
-
B — (µ — 2 )
=
=
1
-
+ B (1 − 1) =
{
1
« ₂ = 1 + (µ −
α
2
--
1
Aus der ersten und dritten folgt:
=
−
=
1
' '
2
-
и +
1
α
« ( = 1 + 2 = 1 )
a und ẞ zu eliminieren. Aus der ersten und zweiten folgt durch.
Elimination von ß:
μ
-
+ ß
1
λ
(µ
µ − 1
-
μ
−
(1, µ, 2) — (1, µ + 1, 2) = 0,
μ
-
1
2) µ
1
μ
λ 1
1
1,
α — — (μ — 1) (2 — 1).
µ
λ
μ
— 2
i) + B :
=
-
− 2) —
(µ —
1
+
-
1
B ( + 1) = 2
1
} ˜ ¹ —— (µ --- 2) µ (µ — 2) — ¹ 2.
=
- 1
-1
2) — ¹ — 1
(μ — 2) (µ — 2) — 1 — (µ — 2) µ (µ — 2) — 1
(u
=
(u 2) (1 μ) (u
—
λ)-1,
demnach, nach Einsetzung von α = — — (µ − 1) (λ − 1):
(u 1) (μ-2) = (u — 2) (u — 1)
μλ
λμ,
-
-
für zwei beliebige Zahlen 2 und u des Systems.
111. Satz: In einer ebenen Desarguesschen Geometrie ist der
Pascalsche Satz äquivalent dem Satze von der eindeutigen Existenz
eines gemeinsamen harmonischen Punktpaares zu zwei gegebenen
Punktpaaren einer Geraden.
Beweis: Man transformiere zunächst nach 83 einen Punkt des
ersten und einen des zweiten Paares in (0, 1, 0) und (1, 1, 0). Ist