Art. 107-110.
107
genügen, so sind Summen, Differenzen und Reziproke von „Vektoren“:
· x 。 + ₁₁ x ₁ + ··· + ¿ µ xp,
o
in
1
2
wieder Vektoren; denn es ist
x + i₁x₁ ++ip xp x²+x₁++x²
Infolgedessen wird zu drei verschiedenen Vektoren a, b, c durch die
Formel der Harmonie (s. I 107 S. 33)
2
1
also
A
d
Dem-
stets ein vierter harmonischer Vektor d eindeutig bestimmt.
nach bilden diese Vektoren die Elemente einer harmonischen linearen
Geometrie. Für p>1 ist dieselbe nichtinvolutorisch, denn es gehört
z. B. zu a 1, b = 0, c 1, a' = i₁, b' = 1-2, die sechste
involutorische Größe:
=
=
=
= (0, 0, 1)
c
Dann wird:
=
-
с
=
welche aber kein Vektor mehr ist.
Anmerkung: Man kann die Elemente dieser Geometrie auch
durch die Punkte eines Euklidischen Raumes von mehr als zwei
Dimensionen repräsentieren, wenn man vier Punkte A, B, C, D har-
monisch*) nennt, die so auf einem Kreise liegen, daß [CD] durch
den Pol von [AB] geht.
a
Dagegen bilden unter derselben Festsetzung z. B. die Punkte der
Ebene oder der Kugel eine lineare involutorische Geometrie.
110. Satz: In einer ebenen Desarguesschen Koordinaten-Geo-
metrie gilt der Pascalsche Satz (60) dann und allgemein nur dann,
wenn in dem zugrunde liegenden Zahlensystem das kommutative Gesetz
der Multiplikation gilt.
Beweis: Es sei (nach 83)
B = (0, 1, 1)
1 — iɩ — îg — îş iy,
iz
с
(0, 2, 1),
C₁ = (1, µ, 1),
([AB₁], [A₁B]) = (1, 1, 2),
1
([AC], [4,C]) = ( 1,
"
μ
([BC], [B₁C]) = (μ-
*) s. Möbius, Werke Bd. II p. 200.
19
1
+
с b с
1
μ
μ
1
+
xo — i₁ x₁
1
A₁ = (1, 0, 1) B₁ = (1, 1, 1),
20, +1,
µ±0, +1.
111),
μ +
λ
-
ipxp
2
1
-1 μ-1
9
· — ₁) ·
2