98
II. Projektive Geometrie.
Punkt TC auf [CZ] durch T = C+1Z gegeben. Infolgedessen
werden durch
X= B+λZ-A+T, Y=A+2Z − B + T
-
die Punkte X = ([BZ][AT]), Y= ([AZ][BT]) definiert. Für den
Punkt D ([XY][AB]) ergibt sich daher D Y X = A – B,
unabhängig von X, Y, Z, T. Ist aber A oder B der gesuchte Punkt,
erhält man aus C A + B,
D
daß A C+D,
A B, daß A
B = C D ist.
SO
-
=
=
formation:
89. Zweiter Harmoniesatz: Wenn A, B, C, D harmonisch
sind, dann auch C, D, A, B.
Beweis für Koordinaten-Geometrien: Nimmt man die Glei-
chungen CA + B, D = A - B als Definition der Harmonie von
A, B, C, D, dann folgt daraus AC+D, BC - D, also die
Harmonie von C, D, A, B.
90. Aufgabe: Zu drei Punkten A, B, C einer Geraden den
vierten harmonischen D zu konstruieren.
Ch
Auflösung: Man wähle Z beliebig außerhalb [AB], TC be-
liebig auf [CZ], so ist
D
([AB], [([AT], [BZ]), ([AZ], [BT])]).
91. Satz: Man kann durch Koordinatentransformation erreichen,
daß von den neuen Koordinaten an, bn, cr (h = 1, 2, ..., n) einer be-
liebigen endlichen Anzahl n gegebener Punkte (a, b, c) einer Ge-
raden stets b, 0, c = 0 ist.
=
y
―
Beweis: Man mache zunächst vermittelst 83 eine Transformation,
durch welche zwei beliebige Punkte der Geraden in (0, 1, 0), (1, 0, 0)
transformiert werden. Dann ist jeder Punkt der Geraden in (x, y, 0)
enthalten. Sind nun (a, b, 0) die gegebenen Punkte, so wähle man
"O beliebig, " beliebig,
(h = 1,...,n)
n'"+0 und so, daß b₂n" — a¿§” ist,
§ n' 5'
ergänze das System: "n" " wie in 82 und mache die Trans-
001
x = x§′ + yn' + 25'
x § " + yn" + z{"
2.
10
Z
-
=
-
――――
Sind dann a, b, die neuen Koordinaten des Punktes (a, b, 0),
so ist