Art. 84-88.
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der Punkt:
65
A
B
"
ν
μ μ
μ
Daß diese drei Punkte, wie es der Desarguessche Satz verlangt, in
einer Geraden liegen, folgt daraus, daß die Summen ihrer entsprechen-
den Koordinaten verschwinden.
85. Definition: Sind
drei Punkte einer Geraden, so
Punkten kurz durch
=
P = (λ′ x′ + 2′″x",
=
-
= ([TX][YZ]),
([TY] [ZX]),
C = ([TZ] [AB]),
D
([AB] [XY])
P' = (x', y, z), P"
in der Ordnung A,
B, C, D harmonisch
heißen (s. Fig.).
87. Satz: Sind
V
A, B, C, D vier. har-
monische Punkte, dann
A
ν
P2PX"P"
' =
ausgedrückt und es sollen 2', 2" als die (homogenen) Koordinaten
des Punktes P der Geraden [P'P"] in bezug auf die Grundpunkte
P', P" bezeichnet werden. Schon für 1 und beliebige 2" erhält
man alle Punkte der Geraden, außer P". Für einen beliebigen
dieser Punkte kann man 2" 1 annehmen, da man die Koordinaten
von P" mit einem willkürlichen Faktor multiplizieren darf.
86. Definition: Sind X, Y, Z, T vier Punkte einer Ebene,
von denen keine drei in einer Geraden liegen, so sollen die vier
Punkte
=
บ
X
1
=
μ'
(x", y", z"),
x'y' + X″y″, X′z′ +2″ z′)
soll die Beziehung zwischen den drei
Z
C
₂- 2').
ν
น
Y
B
D
auch B, A, C, D und A, B, D, C und B, A, D, C.
Beweis folgt aus der Symmetrie der definierenden Konstruktion 86.
88. Erster Harmoniesatz: Durch irgend drei von vier har-
monischen Punkten ist der vierte eindeutig bestimmt.
Beweis: Es seien z. B. A, B, C gegeben und C A+B (s. 85).
Wählt man den Punkt Z außerhalb [AB] beliebig, so wird jeder
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
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