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II. Projektive Geometrie.
nicht genügen.
83. Satz: Vier beliebigen Punkten, von denen keine drei in
einer Geraden liegen, kann man durch Koordinatentransformation die
Koordinaten beilegen:
§′ = §″ a″ + §''' 2'''
(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1).
Beweis: Man kann zunächst nach 81 und 82 die vier Punkte
durch eine Transformation in (a。, bo, co), (α1, b₁, c₁), (ɑ2, b₂, C2), (α3, b3, C3)
derart überführen, daß keine der Koordinaten Co, C1, C2, Cg Null ist.
Alsdann wende man der Reihe nach die folgenden Transfor-
mationen an.
Erstens, je nachdem a,+0 oder
formation:
x ||
X
ao
2
y | y
x || x
y y
≈ || 2 ;
je nachdem bo 0 oder = 0 ist, mache man die Transformation:
x || x
oder
x || x
y
2
91% -6
y
---
9 || 9
ხა
|| 2
2
2 || 2
―
O ist, mache man die Trans-
oder
~ || 2;
dann mögen die neuen Koordinaten der vier Punkte heißen:
(0, 0, co), (α1, b₁, C1), (ɑ2, b2, C2), (ɑ3, bg, C3);
=
zweitens, je nachdem a,= 0, b₁0 oder a, +0, b₁
0 oder a₁+0,
b₁0 ist (α₁ = b₁ = 0 ist unmöglich, weil sonst der zweite Punkt
identisch mit dem ersten wäre) transformiere man:
yy
y | x
2 || 2
2 || 2
dann seien die neuen Koordinaten:
x
xx oder xy oder x ||
a₁
yy
2 || 2;
y
b₁
(0, 0, c), (0, b₁, C₁), (α2, b₂, C2), (ɑs, b3, C3);
drittens ist zunächst a, 0, da sonst die drei ersten Punkte in einer
Geraden lägen; je nachdem nun b₂0 oder = 0 ist, transformiere man: