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II. Projektive Geometrie.
so hat man auf die drei Punkte
(x, y, z, t), (x¹V, y¹v, ziv, t¹v), (x, y, z, t)
den Satz 69, auf die vier Punkte
(x, y, z, t), (x', y', z, t), (x", y', z″, ť′′), (x'"', y'"', z'", ť″)
den Satz 71 anzuwenden und die Zahlen x, y, z, t zu eliminieren, um
den Satz 73 zu erhalten.
74. Satz: Sind {', n', 5', x' },
{¿¹v, nIV, ¿IV, IV} vier nicht durch
ૐY,
Raumes, so ist in
{ §' l'′ + §"l'"' + §'''l'"' + §¹v l¹v, n'´l' + n″ l'' + n'"'l'"' + nIV IV,
¿'l'′ + §'' l'"' + §''''''' + ¿¹V IV, t'l' + x″ l″ + x″ l'"' + t¹V/IV }
für beliebige Werte von l', l", l'"', l¹V, die nicht zugleich Null sind,
stets eine Ebene und für geeignete Werte von l', '', '', IV jede be-
liebige Ebene des Raumes enthalten.
Beweis analog wie zu 73, oder man folgert den Satz 74 aus 73
vermittelst des Dualitätsprinzips.
{ E'', n'"', {', x'"'}, {§'""', n'"'"', {'"', t″"},
einen Punkt gehende Ebenen des
75. Definition: Die Zahlen x, y, z bzw. x, y, z, t sollen als
„Koordinaten" des Punktes (x, y, z) bzw. (x, y, z, t), die Zahlen §, 1, §
bzw. §, n, §, t als „Koordinaten" der Geraden [§, n, §] bzw. der Ebene
(,,, } und die in 61 und 68 als Geometrien erwiesenen Systeme
als „Koordinatengeometrien" bezeichnet werden.
76. Satz: Eine ebene Koordinatengeometrie ist Schnitt einer
räumlichen.
Beweis: Man betrachte die Punkte (x, y, z) der ebenen Geometrie
als Punkte (x, y, z, 0) der räumlichen Geometrie der Punkte
(x, y, z, t) usw.
77. Definition: Ein System
'E'
ies ies
n
n"
"" n""
مد مد
G'"
heißt vom Range 3 (vgl. I. 94. S. 28), wenn [§', n'′, 5′], [§″, n'', §'],
["', '"', '"'] drei nicht durch einen Punkt gehende Gerade, also auch
(§', §'', §'''), (n', n', n'''), (5'′, 5'', '") drei nicht auf einer Geraden
liegende Punkte sind.
78. Satz: Damit die Größen x, y, z für beliebige, nicht zugleich
verschwindende Werte der Größen x, y, z aus den Gleichungen: