Art. 63-67.
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65. Satz: Sind [§', n', 5'], [§", n'', §″'], ['§''', n''', '''] drei nicht
durch einen Punkt gehende Gerade der Ebene, so ist in
[§'V' + §″ V'' + §'''l'"', n'l′+n″l′+n'"l'"', ¿'l′+5"'l'' + §'''l'"']
für beliebige Werte der l', l', l'"', die nicht zugleich Null sind, stets
eine Gerade und für geeignete Werte der l', l", l''' jede beliebige Ge-
rade [,, ] der Ebene enthalten.
Beweis analog wie zu 64, oder man folgert den Satz 65 aus
64 vermittelst des Dualitätsprinzips.
66. Satz: Für den Satz 61 ist das Bestehen des assoziativen
Gesetzes der Multiplikation in dem zugrunde liegenden Zahlensystem
notwendig.
Beweis: Auf der Geraden [7, -1, 0] liegen die Punkte (0, 0, 1),
(B, By, 1) und nach 62 mit diesen beiden in einer, also derselben Ge-
raden (für ′ = a, 2″ = 1 − a) der Punkt (aß, «(ẞy), 1), d. h. es ist
'
-
(αẞ)y — α(ẞy) = 0.
67. Satz: Für den Satz 61 ist die Nichtexistenz von Teilern
der Null, d. h. das Bestehen des Gesetzes B (s. I 76, p. 23), in dem
zugrunde liegenden Zahlensystem notwendig.
Beweis: Es sei uλ = 0. Dann ist jeder Punkt (0, u, 1) sowohl
mit den Punkten (0, 0, 1), (0, 1, 1) als mit den Punkten (0, 0, 1),
(2, 1-2, 1) in einer Geraden, nämlich [1, 0, 0] resp. [1 — 2, 2, 0].
Gibt es außer
μ O noch mindestens einen Wert u +0, für den
uλ=0 ist, dann haben die beiden Geraden außer dem Punkte (0, 0, 1)
noch mindestens einen weiteren, davon verschiedenen Punkt (0, u, 1)
gemein, müssen also zusammenfallen, d. h. es muß 20 sein, da
der Punkt (2, 1-2, 1) der zweiten Geraden nur dann der Gleichung
x0 der ersten Geraden genügt.
X
=
Anmerkung: Man kann auch singuläre Zahlensysteme zulassen;
dann sind aber die Grundsätze der Verknüpfung nur noch „im all-
gemeinen" gültig, d. h. sie erleiden Modifikationen, sobald singuläre
Elemente auftreten. Nennt man Punkt oder Gerade singulär", wenn
ihre Koordinaten alle drei singulär sind, ferner zwei Punkte (x, y, z),
y,
y)
vom Singu-
\x', y', z
laritätsrange 2 (s. I 94, p. 28) ist, „halbidentisch“, wenn es vom
Range 2, vom Singularitätsrange 1, „identisch", wenn es vom Range 1
ist, so tritt an die Stelle des ersten Grundsatzes der Verknüpfung
(s. 48) der Satz: Zwei Punkte bestimmen „im allgemeinen“ eine nicht
singuläre Gerade, nämlich wenn sie verschieden sind; sie bestimmen.
eine singuläre Gerade, wenn sie „halbidentisch", keine bestimmte
(x'′, y′ z´) „verschieden“ nur, wenn das System (;,;,2)
=
-