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II. Projektive Geometrie.
also
- x - y'n
S
d. h. die beiden Punkte identisch.
so wird
λ'
――
x
x'
-
y
y"
--
Xx
y
y"
y
-
ૐ
η
=
y"
t
y'
x"
Xx
•
(x" § + y″ n)
1
૫′
ૐ y"
Setzt man demnach
"
=
=
λ'x' + λ"x"
x'y' + λ"y"
2"
und wegen
-
--
(x — λ′ x′ — λ″ x′) § + (y — X' y' — 2″ y″) n + ( z − 2' z' — λ'' z'') 5 = 0
―
―
―
und 0 auch
z = X'z' + λ"z".
63. Satz: Damit die Gerade [§, 1, §] mit den zwei verschiedenen
Geraden [', n', '], [§'', n'', [''] durch einen Punkt geht, ist die Existenz
zweier Zahlen l', ' notwendig und hinreichend, für welche
E' l' + §' 'l'"'
n'l' + n″ l"
で
​•
y-x'y'
y"
E' l' + ¿''V''.
9
=
"
Beweis analog wie zu 62, oder man folgert den Satz 63 aus
62 vermittelst des Dualitätsprinzips.
64. Satz: Sind (x', y', z′), (x', y'', z′′), (x''', y'"', z''') drei nicht in
einer Geraden liegende Punkte der Ebene der Punkte (x, y, z), so
ist in
(x, y, z), (x'', y''', z″'), (x, y, z),
andrerseits auf die drei Punkte
"1
(λ′ x′ + 2″ x″ + 2″"x""', x'y' + 2″ y″ +2″"y""', λ'z'′ +λ″ z″ +2″″ 2″")
für beliebige Werte der 2′, 2", 2"", die nicht zugleich Null sind, stets
ein Punkt und für geeignete Werte der 2′, 2", 2"" jeder beliebige
Punkt (x, y, z) der Ebene enthalten.
Beweis: Ist (x, y, z) der Schnittpunkt der beiden Geraden
[(x', y′, z′), (x″, y', z′′)], [(x, y, z), (x"'"', y'"', '"')], so hat man den Satz
62 einerseits auf die drei Punkte
(x, y, z), (x', y', '), (x", y'", z″)
anzuwenden und die Größen x, y, z, zu eliminieren, um den Satz 64
zu erhalten.
--^_
"