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II. Projektive Geometrie.
kann: Existieren von den sechzehn Schnittpunkten (6mm) zweier Ge-
radenquadrupel im Raume 60, 61, 62, 63 und Ho, H1, H2, H3 nur
fünfzehn, dann existiert auch der sechzehnte.
Es soll die Existenz des sechzehnten Schnittpunktes (65) aus
der der übrigen vermittelst des Pascalschen Satzes bewiesen werden.
Sei (50) E, (E&„) = G, (ES) H usw., dann liegen G₁,
G2, G3 auf G, H₁, H₂, H¸ auf Ho, also nach dem Pascalschen Satze:
n
ጎን
P₁
P2
2
([G₂H₂] [G, H₂])
([G, H₁] [G₁ H])
(G₁H₂] [G₂H₁])
=
=
=
also auch die zwei Geraden:
=
P37
auf einer Geraden P. Also gehen die drei Geraden
2
[{G₂H3}{G, H₂ } ] = P₁,
[{G351}{3}] = P2,
[{G₁H2} {G₂H1}] = P3
1
durch drei Punkte P₁, P2, P3 einer Geraden P. Nun liegen P₁, På
in {G₂H2}, P2, P, in {G₁₁}, also P1, P2 in (P, P.}, also schneiden
sich P1, P2, also auch die vier Ebenen:
{G₂H;}, {G,G,}, {GH₁}, {G₁H; },
2
[{G₂H} {G₁H;}] = H3, [{G, H₂} {G3 H₁}] = G3.
2 3
1 3
0
-
1
2
3
Soll umgekehrt aus diesem Satze der Pascalsche für die Punkt-
tripel G1, G2, Gg auf Go und H₁, H2, H3 auf So bewiesen werden,
so ziehe man durch G₁, nicht in (Goo) E, die Gerade ₁, dann durch.
H₁ und & die Gerade ₁, dann durch G, und H₁ die Gerade G, dann
durch H2, G1, G2 die Gerade H2, ferner durch G3, H1, H2 die Ge-
rade und schließlich durch H, 61, 62 die Gerade . Alsdann
existieren für die beiden Geradenquadrupel 6, 61, 62, 6g und Ho,
H1, H2, H3 fünfzehn Schnittpunkte, also auch der sechzehnte (G3H3).
Demnach liegen die drei Geraden P1, P2, P3 (s. o.) zu je zweien in
einer der drei Ebenen {G₁₁}, {G₂H2}, {G,H;}, schneiden sich also
zu je zweien, liegen also alle drei in einer Ebene 4, demnach ihre
drei Schnittpunkte P₁, P2, P3 mit E in einer Geraden [E].
3
1 1
Anmerkung: Die zum Desarguesschen und zum Pascalschen Satze
in der Ebene dualen Sätze und die Umkehrungen stimmen mit den
Sätzen selbst überein. Die ihnen im Raume dualen Sätze sind Sätze
im Bündel, deren ebene Schnittfiguren wieder die Sätze selbst ergeben.
61. Satz: Unter Zugrundelegung eines nichtsingulären (s. I 76,
p. 23) Zahlensystems, in dem das assoziative, aber nicht notwendig das