Art. 59-60.
69
bogen AB liegt. Aber es gilt nicht der Desarguessche Satz. Dies
geht unmittelbar daraus hervor, daß, wenn die drei Gleichungen
x cos ay sina₂- P₁ = 0
Ph
(h = 0, 1, 2)
eine gemeinsame Lösung (x, y) besitzen, dasselbe bei den Gleichungen
λpp (x² + y² — 1) = x cos a₂+ y sin α- Pr
an Ph
(h = 0, 1, 2)
im allgemeinen nicht mehr der Fall sein wird. Denn die hierzu er-
forderliche Gleichung
-
――
- α₁) = 0
wird dann zwar für die ausgeschlossene Wahl = const. p, aber im
λ,
p
allgemeinen für keine andere Wahl der Funktion 2, erfüllt sein.
Bemerkung: In dieser Geometrie gilt nicht nur nicht der
Desarguessche Satz, sondern überhaupt kein Schließungssatz. Ob es
(ebene) Nicht-Desarguessche Geometrien gibt, in denen andere
Schließungssätze gelten, bleibt hier dahingestellt.
60. Pascalscher Satz: Liegen A, B, C auf einer, A₁, B₁, C₁
auf einer zweiten Geraden einer Ebene, so liegen die drei Punkte
([BC₁], [B₁C]), ([CA], [CA]), ([AВ₁], [øB])
in einer Geraden*) (s. Fig.).
Im Gegensatz zum ebenen Desarguesschen Satz ist dieser ebene
Schließungssatz durch Verbinden und Schneiden aus keinem der räum-
lichen Sätze herzuleiten, welche
bloße Folgerungen der räum-
lichen Verknüpfungsgrundsätze
sind; wie später gezeigt wird.**)
A
B
с
Andererseits gibt es räum-
liche Figuren, aus denen der
Pascalsche Satz durch Schneiden
gefolgert werden kann. Ins-
besondere wollen wir zeigen, daß
der Pascalsche Satz aus dem
folgenden Satze, und umgekehrt dieser aus jenem, gewonnen werden
-
-
λ sin (α — α2) + 2, sin (α, — α) + 2,„, sin (α-
Po
P2
B₁
C
*) Dieser auf ein Geraden - Paar bezogene Satz von Pascal (s. Œuvres de
Blaise-Pascal, la Haye 1779, Bd. 4, Essai pour les coniques, S. 1—7) findet sich
ebenfalls schon bei Pappus (Collectanea ed. Hultsch, Bd. 2, S. 893).
**) A. Schönflies (Über Konfigurationen, welche sich aus gegebenen Raum-
elementen durch bloßes Verbinden und Schneiden ableiten lassen. Jahres-
bericht der Mathematiker-Vereinigung I, 1892, p. 62) beweist nur, daß es keine
aus den Verknüpfungssätzen folgende Raumfigur gibt, von der jeder allgemeine
Schnitt die Konfiguration des Pascalschen Satzes gäbe.