Art. 52-58.
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spruch mit der Eindeutigkeit oder mit der Kollinearität (resp. Rezi-
prozität) der Abbildung würde nur eintreten können, wenn man in
der einen Geometrie durch zwei verschiedene Konstruktionen zu dem-
selben Elemente, in der anderen durch die entsprechenden Konstruk-
tionen zu zwei verschiedenen Elementen gelangte, was gegen die Vor-
aussetzung übereinstimmender Schließungssätze ist.
R
57. Desarguesscher Satz*): Sind [AA], [BB₁], [CC₁] drei
Gerade eines Punktes 0, welche nicht in einer Ebene liegen, schneiden
sich also nach 11 die Geraden [AB], [4,B₁] in einem Punkte R,
die Geraden [AC],[4₁C₁]
in einem Punkte Q, die
Geraden [BC], [B₁C₁]
in einem Punkte P, so
liegen die drei Punkte
P, Q, R in einer Ge-
raden (s. Fig.).
Beweis für den
Raum: Pliegt auf[BC], 0-
also in {ABC} (14),
ebenso in (AB₁C₁},
also in der Schnittge-
raden dieser beiden Ebe-
nen; dasselbe gilt von
Q und R.
A
so ist
B
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58. Satz: Wenn eine ebene Geometrie Schnitt einer räumlichen
ist, so gilt in ihr der Desarguessche Satz.
Beweis: Es seien [AA₁], [BB₁], [СC₁] drei in einer Ebene E
liegende Gerade eines Punktes O. Da die ebene Geometrie Schnitt
einer räumlichen sein soll, existieren außerhalb der Ebene E noch
Punkte. Man verbinde einen derselben, S, mit A, B, C, A₁, B₁, С₁. Auf
der Geraden SC wähle man einen von S und C verschiedenen Punkt
C, der nach 41 existiert und bezeichne den Punkt ([SC₁][OC′]), der
nach 11 existiert, mit C, so gilt für [AA], [BB₁], [C'C'] der
Desarguessche Satz (57). Sind
B
P' = ([BC′], [B₁C′]), Q'′ = ([AC], [A, C']), R = ([AB], [A₁ B₁])
die drei in einer Geraden liegenden Schnittpunkte und
P = ([SP'], E), Q ([SQ], E),
*) Desargues 1. c.; s. auch Pappus 1. c. S. 653.
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