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II. Projektive Geometrie.
struktion und jedem Schließungssatz entspricht eine „duale" Konstruk-
tion und ein dualer Schließungssatz. Jedem Satze einer Geometrie
entspricht ein dualer Satz derselben Geometrie. Jedem Satze einer
Geometrie der Ebene als Satz einer Geometrie des Raumes entspricht
dual ein Satz einer Geometrie des Bündels: die Geometrien der Ebene
und des Bündels sind dual zueinander.
Beweis: Die Dualität ist bei allen Axiomen der Verknüpfung (48)
vorhanden, muß also auch für alle Folgerungen aus diesen bestehen
bleiben. Zugleich zeigt sich, daß bei einer Erweiterung der Axiomen-
systeme nur dann das Dualitätsprinzip unbeschränkt gültig bleibt,
wenn die hinzugefügten Axiome dual einander entsprechen.
52. Definition: Zwei Geometrien heißen reziprok (resp. kolli-
near) aufeinander abgebildet, wenn jedem Elemente der einen genau
ein Element der dualen (resp. nichtdualen) Art der anderen, und wenn
koinzidierenden Elementen koinzidierende Elemente entsprechen.*)
53. Definition: Jede Geometrie, welche sich projektiv d. h.
reziprok oder kollinear auf eine Geometrie der Ebene (resp. des
Raumes) abbilden läßt, heißt ebene (resp. räumliche) Geometrie. Dem-
nach ist die Geometrie des Bündels eine ebene Geometrie.
54. Definition: Kann man die Elemente einer ebenen Geo-
metrie durch Hinzunahme weiterer Elemente derart ergänzen, daß in
dem erweiterten System die Sätze einer räumlichen Geometrie gelten,
so heißt die ebene Geometrie „Schnitt" der räumlichen, und ihre Sätze
heißen „ebene" Sätze der räumlichen.
55. Satz: Wenn zwei Geometrien kollinear (reziprok) aufeinander
abgebildet sind, so gelten in beiden dieselben (resp. duale) Schließungs-
sätze.
Dieser Satz ist evident, er gilt aber auch umgekehrt. Die Um-
kehrung kann hier nur in der engeren Fassung bewiesen werden:
56. Satz: Wenn in zwei Geometrien von einer gleichen end-
lichen oder abzählbaren Menge von nicht durch Schließungssätze ver-
bundenen Grundelementen dieselben (resp. duale) Schließungssätze
gelten, so sind sie kollinear (resp. reziprok) aufeinander abzubilden.
Beweis: Man kann zunächst den in eine Reihe geordneten Grund-
elementen der einen Geometrie der Reihe nach die in eine Reihe ge-
ordneten Grundelemente der entsprechenden (resp. der dualen) Art
der anderen Geometrie und dann die durch entsprechende (resp. duale)
Konstruktionen entstehenden Elemente einander zuordnen. Ein Wider-
*) Möbius, Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, § 288 (Ges. W. Bd. 1,
S. 376 ff.).
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