Art. 48-51.
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im Bündel:
Durch zwei verschiedene Gerade
gibt es genau eine Ebene (23).
Es gibt mehr als drei, zu je
drei in keiner Ebene liegende Ge-
rade (40).
Durch drei verschiedene Punkte
gibt es genau eine Ebene oder eine
Gerade (9).
im Raume:
Durch zwei verschiedene Punkte | Zwei verschiedene Ebenen schnei-
den sich in genau einer Geraden (44).
gibt es genau eine Gerade (4).
Durch eine Gerade und einen
nicht auf ihr liegenden Punkt gibt
es genau eine Ebene (21).
Es gibt mehr als vier (siehe *)
S. 64), zu je vier in keiner Ebene
liegende Punkte (39).
Zwei verschiedene Ebenen schnei-
den sich in genau einer Geraden (44).
Es gibt mehr als drei, zu je
drei durch keine Gerade gehende
Ebenen (40).
Drei verschiedene Ebenen schnei-
den sich in genau einem Punkt oder
einer Geraden (45).
Eine Gerade und eine nicht
durch sie gehende Ebene schneiden
sich in genau einem Punkt (43).
Es gibt mehr als vier, zu je
vier durch keinen Punkt gehende
Ebenen (39).
sollen als die „Axiome der Verknüpfung" bezeichnet werden. Die-
selben bilden nicht, wie die ursprünglichen Axiome, ein System von-
einander unabhängiger Axiome, sie sind aber als Axiome zulässig, da aus
ihnen die definierenden Eigenschaften der Geraden (4), der Ebene (9),
des Raumes (25), die Existentialaxiome (2, 8, 24, 39 und 11) folgen.
49. Definition: Das vollständige System von Lehrsätzen, welche
man aus den Axiomen der Verknüpfung resp. der Ebene, des Bündels,
des Raumes (unter eventueller Hinzunahme weiterer Axiome) herleiten
kann, heißt „Geometrie" resp. der Ebene, des Bündels, des Raumes.
50. Definition: In der Geometrie der Ebene heißen die Ele-
mente Punkt und Gerade, in der Geometrie des Bündels die Elemente
Gerade und Ebene, in der Geometrie des Raumes die Elemente Punkt
und Ebene einander, und die Gerade sich selbst „dual". Lassen sich
zwei Sätze zweier Geometrien so aufeinander beziehen, daß jedem
Element des einen genau ein duales Element des anderen und koinzi-
dierenden Elementen koinzidierende Elemente entsprechen, so heißen
die beiden Sätze,,dual".
51. Dualitätsprinzip*): Dem,,Verbinden" zweier Elemente ent-
spricht „dual" das ,,Schneiden" der dualen Elemente. Jeder Kon-
*) Gergonne, Gerg. Ann. 16 (1825, 1826), S. 209.
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
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