Art. 34-44.
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nicht durch einen Punkt gehende Gerade, z. B. auf {ABC} ihre Schnitt-
geraden mit {BCD}, {CDE}, {DEA}, {EAB}.
40. Satz: Auf jeder Ebene liegen mindestens vier, zu je dreien
nicht in einer Geraden liegende Punkte: A', B, C, D'.
Beweis: Da einer der Punkte A, B, C. z. B. E nicht auf ihr
с
liegt, sind ihre Schnittpunkte mit [AE], [BE], [CE], [DE] vier
Punkte der verlangten Art.
Folgerungen: 1) Auf jeder Ebene liegen mindestens vier, zu je
dreien nicht durch einen Punkt gehende Gerade, z. B. die Geraden
[A'B], [BC], [CD′], [D'A′].
2) Durch jeden Punkt gehen mindestens vier, zu je dreien nicht
in einer Ebene liegende Gerade, seine Verbindungsgeraden a', b', c', ď
mit A', B', C', D', wenn {A'B'C'} nicht durch ihn geht.
3) Durch jeden Punkt gehen mindestens vier, zu je dreien nicht
durch eine Gerade gehende Ebenen, z. B. die Ebenen {a'b'}, {b'c'},
{c'd'}, {ď'a'}.
41. Sätze: Durch jede Gerade gehen mindestens drei verschiedene
Ebenen, z. B. ihre Verbindungsebenen mit A, B, C, wenn sie nicht in
{ABC} liegt.
Auf jeder Geraden liegen mindestens drei verschiedene Punkte,
z. B. ihre Schnittpunkte mit den Ebenen (ABE), {BCE}, {CAE},
wenn sie nicht durch E geht.
In jeder Ebene gehen durch jeden Punkt mindestens drei ver-
schiedene Gerade, z. B. die Verbindungsgeraden des Punktes mit den
Punkten A, B, C′ (40), wenn er nicht auf [A'B′], [B′ C′], [C′ A′] liegt.
42. Grundsatz: Es existiert kein Punkt außerhalb | ABCD.
Dieser Grundsatz ist lediglich Erfahrungsgesetz. Verzichtet man auf
ihn, so wird man auf die Geometrie von mehr als drei Dimensionen
geführt. Der Aufbau einer solchen Geometrie bietet durchaus keine
neuen grundsätzlichen Schwierigkeiten; vielmehr finden sich alle
wesentlichen Eigenschaften schon im Raume von drei, aber nicht
weniger als drei Dimensionen, wie sich zeigen wird. Aus diesem
Grunde können wir uns auf die Geometrie des dreidimensionalen
Raumes beschränken.
43. Satz: Eine Ebene (FGH} und eine nicht in ihr liegende
Gerade [IK] schneiden sich in einem, also (wegen 20) nur einem
Punkte.
Beweis: Da (nach 42) K mit F, G, H, I in einem Raume liegt,
existiert (nach 25) ein Punkt L so, daß FGHL= IKL = 0 ist.
44. Satz: Zwei verschiedene Ebenen {ABC}, {DEF} haben
zwei Punkte, also nach 20 eine Gerade gemein.