Art. 18-33.
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CEG = 0 ist; also auch Hund I so, daß ACDH-BEH=BCDI
AEI=0 ist.
Beweis: Weil ABCF in einer Ebene, so existiert K so, daß
CFK = ABK = 0 ist. Aus CKF DEF= 0 folgt (11) die Existenz
von G so, daß DKG = CEG = 0. Nun liegt G auf [DK], D auf
{ABD}, K auf [AB], also auf {ABD}; also [DK], also G auf
{ABD} (s. 20), d. h. ABDG = 0; außerdem war CEG = 0.
28. Satz: Es ist |ABCD|
ABDC.
Beweis: Sei E ein Punkt von ABCD, also existiert F so,
daß ABCF DEF = 0, so ist E auch Punkt von ABDC, denn
es existiert (25) G so, daß ABDG
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CEGO ist.
29. Satz: In ABCD sind alle Permutationen gestattet.
Beweis: Aus 26 und 28.
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30. Satz: ABCD enthält (ABC).
Beweis: Ist E ein Punkt von (ABC), also ABCE = 0, so
ist ABCF DEF0 für F E, d. h. E ein Punkt von
ABCD.
Beweis: Aus ABCDE
32: ABDEF = ABDEG
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Folgerungen aus 14, 29, 30: | ABCD enthält {ABD},{ACD},
{BCD}, [AB], [AC], usw., A, B, C, D.
31. Satz: Liegt E in ABCD, dann D in | ABCE.
Beweis: Es existiert F so, daß ABCF DEF = 0 ist, also
auch so, daß ABCF = EDF = 0 ist, d. h. D ist in ABCE.
Folgerungen: 1) aus 31 und 29. Liegt E in ABCD, dann
auch C in ABDE, B in ACDE, A in BCDE. Bezeichnet man
diese Lage mit ABCDE = 0, so sind hier also alle Permutationen
gestattet.
2) aus 30: Wenn z. B. ABCE = 0, dann stets ABCDE 0.
32. Satz: Sind EF zwei verschiedene Punkte von ABCD,
dann ist A Punkt von CDEF.
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Beweis: Es existieren G und H So, daß ABCG DEG 0
und ABCH DFH=0 ist. [AC] und [GH] schneiden sich in I
(nach 23). (DEF) enthält (14) DE, also wegen DEG = 0 und (20)
auch G; (DEF) enthält ebenso DF, also wegen DFH = 0 auch H.
Demnach enthält (DEF) G und H, also [GH], also I. Aus
DEFI = CAI = 0 folgt aber nach 27 die Existenz von K, so daß
CDEK = FAK=0 ist, d. h. daß A in CDEF liegt; q. e. d.
33. Satz: Ist EFG+0 und E, F, G in ABCD, dann ist
A in DEFG.
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ABCDF = ABCDG = 0 folgt nach
0, hieraus ADEFG = 0; q. e. d.