Größensysteme. 152-155.
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bestehen, was nicht anders möglich ist, als daß f(x) einen der Werte
a+bi hätte. Dann hätte aber x (nach 151) selbst die Form y+iz,
wo y, z reelle d. h. dem System R einzuordnende Zahlen wären, gegen
die Annahme.
153. Demnach sind die Zahlen gewöhnlicher Systeme entweder reell,
d. h. linear zu ordnen, oder von der Form a+bi, mit reellen a, b, also
(nach 128) planar zu ordnen. Ein nicht reelles gewöhnliches Zahlen-
system braucht i nicht zu enthalten; z. B. ist das System a+bV-3,
mit rationalen a, b, ein System dieser Art. Ist aber das vollständige
reelle Teilsystem stetig, so enthält das System i selbst.
154. Satz: Die sämtlichen Grundsätze der Verknüpfung, der
Stetigkeit, der Meßbarkeit sind unter sich und mit den Grundsätzen
der linearen bzw. planaren Anordnung nicht im Widerspruch.
Beweis: Die Existenz des reellen bzw. imaginären Zahlensystems.
155. Satz: Die Grundsätze der Verknüpfung, der Stetigkeit, der
Meßbarkeit, der linearen bzw. planaren Anordnung bilden ein „voll-
ständiges" System von Grundsätzen für das System der reellen bzw.
der imaginären Zahlen, d. h. alle Eigenschaften dieser Systeme sind
aus diesen Grundsätzen herzuleiten.
Beweis: Gäbe es irgend eine weitere Grundeigenschaft E dieser
Systeme, welche von den aufgestellten unabhängig wäre, so wäre die
zu E entgegengesetzte Eigenschaft non-E mit den übrigen nicht.
in Widerspruch, d. h. es existierten Systeme, welche diese Grund-
eigenschaften in sich vereinigten. Dies ist nicht der Fall. Denn das
System enthält zunächst die Zahlen 0, 1 resp. 0, 1, i, alsdann infolge
der Verknüpfungssätze alle rationalen reellen resp. imaginären Zahlen,
ferner infolge der Anordnung und Stetigkeit alle irrationalen reellen
resp. imaginären Zahlen. Könnte man nun das reelle System durch
eine Zahl x erweitern, die man > 0 annehmen, nämlich sonst durch
- ersetzen kann, so müßte, damit x von allen übrigen Zahlen des
Systems verschieden wäre, entweder x größer als jede der andern Zahlen
sein, entgegen der Meßbarkeit; oder es müßte x größer als jede Zahl
<a, und kleiner als jede Zahl>a sein, für eine bestimmte Zahl a;
dann ist entweder, da xa sein soll,
also entweder
a < x < a + oder
k
X
1
a
> k oder
a
1
ax
k
<x<α,
>k,
für jede ganze Zahl k, gegen die Meßbarkeit.
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