Größensysteme. 148–151.
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Beweis: Man wähle x <- nA (s. 148); ebenso >n A, dann
folgt:
x² + α₁ xn−1 + ··· + a₂ < x² + An x-1 d. h. <xn−1(x+nA) <0
•
.
und
x² + α₁xn−1
1
-
+ ...+an> xn — Anx²-1 d. h. > xn−¹(x − n A) > 0.
150. Satz: In einem gewöhnlichen reellen Größensystem kann
die Existenz einer reellen Wurzel einer reellen Gleichung
2
f(x) = x² + α₁xn−1 + A₂ x²-² + ··· + a₂ = 0
ungeraden Grades n ohne Voraussetzung der Meßbarkeit nachgewiesen
werden.
Beweis: Man bezeichne mit x alle diejenigen Größen eines relativ
dichten Teilsystems des Systems, für welche
f(x) <0 für x ≤ x
ist; und mit alle übrigen Größen des relativ dichten Teilsystems des
Systems. Dann definiere man eine Größe x durch die Ungleichungen
x < x <x.
Diese Definition ist zulässig, da erstens sowohl Größen wie
existieren (nach 149*), und da zweitens stets < ist, wie aus
der Definition der und folgt. Die Definition von x ist (nach
18) eindeutig, da die Größen x, x, relativ dicht liegen. Schließlich
ist f(x) = 0; denn wäre etwa f(x)<0, so kann man nach 148
x>0 so bestimmen, daß
XC
――――
f(x) = f(x) + (x − x) f₁ + (x − x)² ƒ½ + ··· + (x − x)" fn
2
negativ wird, gegen die Bestimmung von x.
151. Satz: In einem imaginären Zahlensystem kann die Existenz
einer Wurzel einer Gleichung
1
+ an
x² + α₁ x² - ¹ +
0
ohne Voraussetzung der Meßbarkeit bewiesen werden.
Beweis: Es genügt zu diesem Zwecke, den zweiten Gaußschen
Wurzelexistenzbeweis **) auf den vorliegenden Fall nicht meßbarer
Größensysteme zu übertragen. In der Tat erfordert dieser Beweis
außer formalen algebraischen Operationen, welche von der Meßbarkeit
• ·
=
*) Die dort mit x bezeichneten Größen stimmen mit den hier mit x be-
zeichneten Größen überein; nicht dasselbe gilt für die x.
**) Gauß' Werke Bd. III, p. 31. E. Netto, Die vier Gaußschen Beweise für
die Zerlegung ganzer algebraischer Funktionen in reelle Faktoren ersten oder
zweiten Grades (Leipzig 1890) p. 37.
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
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