44 I. Grundlagen der Arithmetik. und 126 gelten, setze man a>b, wenn a−b>0, und man setze a 0, wenn a > 0 ist. Die Reziproken existieren nach der Festsetzung: 1 .. nj · = 1 − (b₁ x² + b 2 x¹² + · · · ) + (b₁ x² + b₂ x ¹¹² + · · · ) 2 — · · · · 1 + b₁ x²¹ + b²x²² + · Daß D gilt und Stetigkeit stattfindet, ist offenbar; Meßbarkeit dagegen besteht nicht; denn kein ganzes Vielfaches von x ist größer als 1, weil stets 1-kx > 0 ist. 137. Satz: In einem linearen Größensystem ist D, also (134) auch C*) abhängig von der Meßbarkeit. Beweis folgt aus dem folgenden Satze 138. 138. Satz: In einem linear geordneten Zahlensystem ist das Archimedische Axiom 58 gleichwertig dem Satze: Sind a, b zwei verschiedene Zahlen, so liegt zwischen ihnen eine rationale Zahl d. h. das Zahlensystem enthält das System der rationalen Zahlen relativ dicht. Beweis: Gilt dieser letztere Satz, so liege zwischen a und 00) und x + 1 die rationale Zahl die rationale Zahl Dann folgt x< ≤h≤hk' 1 ist, alsdann die ganze Zahl H so, daß H>ka >0 ist, woraus durch Teilung des Intervalls 0... H in die Teilintervalle 0...1, 1...2, (H-1)... H die Existenz einer ganzen Zahl h folgt, so daß h>ka > h - 1 kx > ka + 1>h>ka, h x > k h h • ist; dann folgt also だ ​k' h ···9 > a. 139. Satz: C und D sind unabhängig von allen übrigen Grund- sätzen der Verknüpfung, denen der planaren Anordnung und von der Stetigkeit. Beweis: Man betrachte dasselbe System von Funktionen wie in 133, aber mit imaginären Koeffizienten a₂ = b + ic. Damit 52 und 126 - *) Die Abhängigkeit des Satzes C von der Meßbarkeit beweist auf anderem Wege Hilbert (Grundlagen der Geometrie § 32). Daß auch Satz A aus der Meßbarkeit folgt, zeigt Hölder (Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Maß. Leipz. Akad. Ber. math.-phys. Kl. 1901, p. 36). Das wesentliche obiger Deduktionen besteht darin, daß C nur von einem Teile der Meßbarkeit, näm- lich nur von Satz D abhängt (134) und daß diese Abhängigkeit auch um- gekehrt besteht.