Größensysteme. 125-130.
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so würde durch Addition von 1 und 1 folgen:
2 <0 <1 und 0 < − 2 < − 1,
2<0<-2
und aus
durch Multiplikation mit :
1
2
gegen die Annahme.
so würde ebenso:
und aus
folgen, gegen die Annahme.
oder:
entweder:
Wäre zweitens
1>0> -1,
oder:
Aus a > 0,10 folgt also a <0.
Aus ab, h>0 folgt entweder:
a+h>b+h, 0>h,
-
-1>1 > 0,
021 und 20<- 1,
-2<02, -1<0<1
also das erstere. Ebenso aus
-
-
-
a + h <b+h, 0 <h,
a>b, 0> - h
a+h>b+h, h> 0,
a+h<b+h, h< 0,
also das erstere. Demnach folgt aus ab stets a +h>b+h, wo-
mit 52 bewiesen. Aus a>b, h>0 folgt a−b>0, h> 0, also
(a - b) h > 0, ah-bh > 0, ah > bh. Ebenso h(a-b)>0, ha>hb.
Ebenso aus ab, h<0 folgt ah <bh, hahb; damit ist auch 126
bewiesen.
130. Satz: Das multiplikative Anordnungsaxiom 126 für lineare
Anordnung ist unabhängig von allen vorhergehenden Grundsätzen
einschließlich 52 und der Stetigkeit.
Beweis: Man ordne das System der imaginären Zahlen a + a'i
so, daß a + a'i>b+b'i heißt, wenn entweder ab, oder a = b,
ab' ist. Dann besteht offenbar 52, aber nicht 126, denn aus
i>0<1 folgt durch Multiplikation mit :- 1>0<i, während
i:
(122) 10 ist.