Geordnete Zahlensysteme. 120—124.
39
a
b
heißt, wenn entweder a größer (im gewöhnlichen Sinne des
a b
Wortes) als b oder ab, a' größer als b' ist. Dann ist z. B. >
3
2
3 9
1
1
7
aber 3 + < + denn <
2
3
7
2
1
2
6
124. Satz: Der Grundsatz 52 für planare (ebenso für überplanare)
Anordnung ist unabhängig von allen vorhergehenden Grundsätzen.
Beweis: Man nehme die Tripel reeller Zahlen (a, b, c), (mit c>0)
mit der Addition (a, b, c) + (h, k, l) = (la + kb + hc, lb + kc, lc) und
der Multiplikation (a, b, c) (h, k, l) = (ah, bk, cl). Dann setze man:
=
((a, b, c),
(a', b', c'), (a', b″, c''))>0,
wenn entweder:
oder wenn:
ist.
1 1
a
b'
a
b
Wählt man a, a',
2
=
"
1
a"
b"
•
a"
...
1
I a
b
"
a
b
und dann c, c', c" so, daß
1
=
für hinreichend große k.
b
1
a
b
b, b′,
1
с
0 und
ist, so wird
aber nach Addition von (h, k, l):
a
b'
1
b'
c
с
b" So, daß
1 1
a"
b"
1
a"
b"
1
1
1
la+kb+he la+kb+he
lb+kc lb + ke
1
1
= 12 a
+kla
b
.
> 0,
((a, b, c), (a', b', c'), (a", b″, c'')) > 0,
C...
1
a
1
b" <0
ć"
1 1
α
a"
c
c"
1
la"+kb"+he"
lb" + kc"
1
•
•
•
V
+(k² — hl) b...
c...
<0