38 I. Grundlagen der Arithmetik. Geordnete Zahlensysteme. 120. Definition: Ist ein Zahlensystem eine geordnete Gruppe, so heißt es ein „geordnetes Zahlensystem". 121. Definitionen: In einem linear geordneten Zahlensystem, soll statt a nach b, a vor b gesagt werden a „größer als" b (a> b), a „kleiner als“ b (a 0 heißen „positiv", die <0,negativ". Mit Rücksicht auf 52 und 102 kann statt a >b auch (a, b)>0 gesagt werden, ebenso (a, b) = 0 statt a = b. - In einem planar geordneten Zahlensystem soll statt a rechts (resp. links) (b, c) gesagt werden: (a, b, c) > 0*) (resp. <0). Gehören a, b, c einer linear geordneten Teilmenge an, so soll (a, b, c) = 0 ge- setzt werden. In einem überplanar geordneten Zahlensystem soll statt a unter (resp. über) (b, c, d) gesagt werden (a, b, c, d) > 0*) (resp. <0). Ge- hören a, b, c, d einer planar geordneten Teilmenge an, so soll (a, b, c, d) = 0 gesetzt werden. 122. Satz: In einem geordneten Zahlensystem bleibt die Ordnung bei Multiplikation aller Zahlen mit einer positiven rationalen Zahl ungeändert. Beweis: Aus (a, b,...) > 0 folgt (0, b-a,...) >0 und daraus folgt nach 55, resp. 61, resp. 67 für positive ganze k: hält a+b 2 k Also auch ( h k Fall kann h sind dann die Zeichen > und < zu vertauschen. Folgerung: Ein geordnetes Zahlensystem ist dicht, denn es ent- a + b + c wenn a, b, d Zahlen a+b+c+d 3 , resp. C, - (0, kb — ka, ...) > 0, d. h. (ka, kb, ...) > 0. a, b, ...) > 0, für positive ganze h. Im planaren k 'h " auch negativ sein. Im linearen und überplanaren Fall resp. " des Systems sind; und diese Zahlen liegen zwischen a, b, resp. zwischen a, b, c, resp. zwischen a, b, c, d. (s. 54, 60, 66.) 123. Satz: Der Grundsatz 52 für lineare Anordnung ist unab- hängig von allen vorhergehenden Grundsätzen. Beweis: Es seien a, a, b, b', ... ganze Zahlen und die Brüche reduziert, von positivem Nenner und so geordnet, daß a b с a b' c ... *) Hier ist (a, b, c) resp. (a, b, c, d) natürlich nicht das Verhältnis resp. Doppelverhältnis.