Zahlensysteme. 112-119.
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Beweis: Gilt erstens C nicht, so erhält man z. B. aus „Vektoren"
a+bi+cj durch Harmonien nur Vektoren, weil Summen, Diffe-
abi- cj
renzen, Reziproke (a+bi + cj
wieder
von Vektoren
2
a² + b² + c²,
Vektoren sind, aber durch Involution z. B. zu a
0, γ
-
1, ẞ
=
a' — — j, ß′ = 1 + 2i die Quaternion ¹+i+j-ij
-
2
(α α'vr₁)
(αάγ2821)
wie bei 115.
= --
Gilt dagegen C, so findet man zu a, a', B, B', y die sechste involu-
torische Zahl y', indem man der Reihe nach 71, 72, 712, 721, 7' aus den
fünf Harmonien ermittelt:
1
1
1,
=
(BB'rra)
(BB'71712)
1.*)
=
0
1 + i + j − ij
=-
-
1,
(V1221)
αβγδ
116. Definition: Wenn die Doppelverhältnisse (aẞyd), (a'ẞ'y'd')
einander gleich sind, so heißen {} in dieser Ordnung „pro-
jektivisch“, oder sie bilden eine „Projektivität“ **)
αβγι
αβγά
λαγ βα
117. Satz: Die Involution {} ist mit der Projektivität
{a} identisch.
- 1
1 + 2i
Gilt C, so siehe Wiener 1. c. p. 672.
-
=
1,
1,
——
-
Beweis: (aßya') = (ay'ß'a') gibt:
(œ—y) (B—y)-¹(B—α') (α —α')—¹— (α—ß') (y'—ß')—¹(y'—a') (a—a')-¹usw.
118. Satz: Zu sieben Zahlen ergibt sich die achte projektivische
im allgemeinen eindeutig.
Beweis folgt aus 108.
119. Satz: Zu sieben Zahlen kann die achte projektivische im
allgemeinen dann und nur dann durch bloße Harmonien gefunden
werden, wenn C gilt.
Beweis: Gilt C nicht, so ergibt sich das Behauptete aus der
Projektivität:
-
- j)
--
α
1
*) s. Wiener, Über die aus zwei Spiegelungen zusammengesetzten Ver-
wandtschaften. Leipz. Akad. Ber. math.-phys. Kl. Bd. 43 (1891) p. 644, ins-
besondere p. 670.
**) Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures (Paris 1822).