Zahlensysteme. 108-111.
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αβγ
[α'B'y')
eine „Involution".*)
ist, so heißen die sechs Zahlen
torisch", oder
λαβγ
a' B'y'
111. Sätze: Aus einer Involution
α
γ
gehen durch Ver-
tauschungen der Paare
{/},
im ganzen 6 Involutionen
α
hervor. Aus jeder dieser sechs Involutionen gehen durch Vertauschungen
der Zahlen eines Paares (a mit a' usw.) in jedesmal zwei Paaren je
vier Involutionen hervor.
Beweis: Löst man in der definierenden Relation 110 die Klam-
mern rechts und links auf, so kommt:
-1
a ((B — z)—¹ + (ß'— y')— ¹) a' — a ((B — y)—¹ ß + (B′— z′)− ¹g')
-1
-
folgt aus der definierenden Relation 110:
-
in dieser Ordnung „involu-
αβγ
a B'y'
1
--
-
=
-
-
— (y (ß − y)−¹ + ß′ (B'— y′)−¹) a' + v (ß − y)−¹ ß + ß′ (B′— y')—¹ y'— 0.
-
Diese Relation bleibt unverändert, wenn man ẞ'mit y, ẞ' mit y' ver-
tauscht; also ist auch
eine Involution. Ebenso bleibt die
αγβ.
ά'v' B'
Relation unverändert, wenn man ß mit 7', y mit p' vertauscht; also
B' γαβγ
sind auch
(a), (,) Involutionen.
άγβ άβγ
Durch Multiplikation von rechts mit
(y'— a')—¹ (y'— ß'), von links mit (ẞ—y) (α − y)-1
-
―
-
(B — a') (y'— α')—¹(y' — ß′) — (B − y) (x − y)—¹ (α — ß'′),
also sind auch Involutionen:
βγα βαγ
(orc), (bar), (Bvc) (B7);
\βγαζ’[βαγ
a
[βγα. [βαγ
βγά B' αγ
aus dem bisherigen oder noch durch Hinzuziehung der Relation
(B — a') (y'— a')-¹ (y'’— B') = (ẞ — z) (α — z)−¹(α — ẞ′),
-
-
-
―――
――――
-1
die sich aus der definierenden durch Multiplikation von rechts mit
(ß — α′)—¹ (ẞ − y), von links mit (y'— ẞ′) (α — ẞ′)-1 ergibt, folgen alle
übrigen Involutionen des Satzes 111.
*) G. Desargues, Brouillon proiect (Paris 1639) Oeuvres (Paris 1864) I p. 119.
Der Sache nach schon Pappus bekannt; s. Pappi Alexandrini Collectionis
quae supersunt ed. Hultsch, Vol. II. (Berlin 1877) p. 873.
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