Zahlensysteme. 104-107.
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also auch
(γδαβ) = λ
1
α
1
β
Aber ersetzt man α,
1 1
1
Y α d
1 1
γ β
--
=
&
=
2
y
d
6
α
β
8
Demnach ist in diesem Falle:
1
- α
α
――
1
-
――――――――
δ
1
"
&
y
β
-
1
1
+
――――
Ꮄ
ช
Y
=
1
(aßyd) = (Bady) = (ydaß) = (dyßa)
(αβγδ)
-
λ
(αγβδ) = (γαδβ) = (βδαγ) = (δβγα) = 1-1
=
(βαγδ) == (αβδγ) = (γδβα) = (δγαβ)
-
(γβαδ) = (βγδα) = (αδγβ) = (δαβγ)
1
d
((y — d)) — (α — 8))
-
|((y — d)) — (ß — d)) ·
Ꮄ
Ꮄ
β.
8' 7
=
--
=
(γαβδ) = (αγδβ) = (βδγα) = (δβαγ)
1
-
2
(βγαδ) = (γβδα) = (αδβγ) = (δαγβ) = 1
106. Sätze: (aßyd) bleibt unverändert, wenn man a, ß, v, 8
ersetzt durch + §, ß + §, y + E, 8+ oder durch as, ß, v, SE.
δξ.
d durch
1
B, Y,
1 1 1
α' B' y
d "
λ
2
1
1
== 0).
--
α
β
1
1
2
2
1
=
[ ( - ) ) ( ( - ) ) ) ( (@ - ») ¦ ) ( ( — «) ! ) ¯'
- 1 ¹ '
B)
--
B)
α
α
im allgemeinen nicht gleich (aßyd), aber gleich (aßyd), wenn hier-
für C gilt. In diesem Fall ist also das Doppelverhältnis (aßyd) eine
„projektive Invariante", d. h. es bleibt ungeändert, wenn man auf
a, B, 7, 8 dieselbe lineare gebrochene Substitution anwendet.
δ
107. Definitionen: Ist (aßyd)-1, so heißen a, ß, 7, 8
„harmonisch“*) und es ist
1
α Ꮄ
Ist (αβγδ)
1
-
1
-
— 1 (v — α) (v — ß) — ¹ (d—ß) (8 − a)—¹ α — — («ßyd) a
— =
-
α
α
so kommt
&
3)
d
1
oder
1.
s' ß 8' y
ε (ε² +ɛ +1=0), so heißen α, ß, y, d „äquian-
=
*) Von den Pythagoreern eingeführt. Vgl. M. Cantor, Geschichte der
Mathematik I (Leipzig 1880) p. 140.
Vahlen, Abstrakte Geometrie.