Zahlensysteme. 86-92.
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Zweitens seien x und y zwei Lösungen, so folgt:
-
-
-
0 = x² - 2ax - y²+2ay = (x + y − 2a) (x − y) + (xy — yx),
also wenn C gilt:
also weil B gilt, entweder
oder
-
(x + y −2 a) (x − y) = 0,
X - y = 0,
ξα:
x + y 2 a
X.
91. Definition: Im System der reellen Zahlen hat die Gleichung
i2+1=0
――――――
=
09
y =X
=
y
=
keine Lösung, da für x> oder oder <0 stets x²+1>0 ist. Es
soll aber dem System der reellen Zahlen eine Zahl i, die „,imaginäre
Einheit", hinzugefügt werden, definiert erstens durch die Gleichung
¿² + 1 = 0,
*) Zuerst bei Descartes 1. c.
2 a
―
zweitens durch die Forderung, daß in dem erweiterten System, dem
System der „imaginären *) Zahlen", die distributiven Gesetze und das
assoziative Gesetz (ab) c = a (bc), wo a, b, c reell oder gleich i sind,
gelten sollen. Dann folgt nämlich, daß allgemein A und C gelten; ferner
B daraus, daß (a + bi) (c+di) = 0 die Gleichung (a² + b²) (c² + d²) = 0
nach sich zieht. - Die Gleichung
x² + 1 0
-
hat dann (s. 90) nur die zwei Wurzeln +i, — i.
92. Satz: In einem System mit A, B, ohne C haben lineare
Gleichungen, z. B. axa' + bxb' + cxc+d=0 im allgemeinen unend-
lich viele Lösungen.
Beweis: Es genügt, im System der Quaternionen eine Gleichung
von der Form xu + bx + c = 0 mit beliebig vielen Lösungen herzu-
stellen. Man wähle für a und beliebige, ganzzahlige Quaternionen,
so daß ağa; dann b so, daß §a+b=0. Jetzt ist a+b²+0,
denn aus §a+b§=0, §²a+b§²=0 würde für §=a+ßi+vj+dij
folgen:
{ §² −2 a § +(a² + ß² + y² + d²) } a + b { § ² − 2 a § + a² + ẞ² + y² + d² } = 0,
also
(œc² + ß² + y² + §²) (a + b) = 0, a = - b,
ağ, gegen die Wahl von a und §. Setzt man
§² a + b² + c = 0,