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I. Grundlagen der Arithmetik.
aº
=
1, a-m
----
1
m
a
setzen, da dies mit a+1 aka in Einklang, wenn,
wie im folgenden stets, A vorausgesetzt wird.
86. Definitionen: Die Worte: Division, Divisor, Dividend,
Quotient, Bruch, Zähler, Nenner, gebrochene Zahl, rationale Zahl sind
hier in bekannter Weise zu erklären. Die nichtrationalen Zahlen,
welche im System der rationalen Zahlen durch Anordnungsbezie-
hungen definiert werden können und welche das System zu einem
stetigen ergänzen, heißen ,,irrationale"*) Zahlen; die rationalen und
die irrationalen Zahlen zusammen bilden das System der „reellen" **)
Zahlen.
87. Ein Zahlensystem kann „kommutativ" sein, d. h. es kann
das kommutative Gesetz der Multiplikation gelten:
C
ba.
ab
Daß es nicht zu gelten braucht, auch wenn alle vorhergehenden
Sätze gelten, beweist das System der ,,Quaternionen":
a + bi + cj + dij,
wo a, b, c, d rationale Zahlen sind und i, j den Gleichungen genügen:
¿² + 1 = j² + 1 = ij + ji = 0.
88. Sätze: Es ist 2a=(1+1) a = a+a=a (1+1)
allgemein kaak für ganze Zahlen k. Ferner 2a
1
1
=α = 2
2
= a ( 1 + 1 ) ·
für ganze Zahlen h, k.
89. Im folgenden kommen nur Systeme in Betracht, in denen
die aufgestellten Axiome der Verknüpfung alle gelten, mit even-
tueller Ausnahme von A, B, C.
·
.
a,
also
=
1
a
2
99
=
=
1
a;
= a.2 usw.,
=
1
1
a +
-
2
ebenso allgemein
h
a = a
k
h
90. Satz: In einem System mit A, B, ohne C hat eine qua-
dratische Gleichung x² - 2ax + A = 0 im allgemeinen beliebig viele
Wurzeln x; gilt aber C, so hat sie niemals mehr als zwei.
Beweis: Es sei z. B. das System das der Quaternionen und a, A
reelle Zahlen, Aa² eine positive Zahl. Man zerlege Aa² in
b2+c+d2 was auf beliebig viele Arten möglich ist, so genügt
x= a + bi + cj + dij stets der Gleichung.
*) Die irrationalen Zahlen werden also auf Grund von Anordnungs- (d. h.
Größen-) Beziehungen definiert. Das Irrationale verlangt zu seiner syste-
matischen Fassung den Größenbegriff" (Hankel, 1. c. S. 47).
**) Zuerst in Descartes' Géométrie 1637.