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I. Grundlagen der Arithmetik.
ferner
O unter (x', y', y' + z'), unter (x', x' + y′, y' + z′), unter (x' + y', y′+z', 'x'),
also (67)
―――――
O unter (x+y', y', z′), unter (x' + y', y' + z', z′),
O unter (x+y', y' + 2′, 2′' +x'),
(x + y + z) unter (— z', — x', — y′), unter (— x', — y', — z′),
――
-
---
x' + y + z′ über (x', y', z′),
3a über (x-a, y
a, z—a),
x + y + z. 2a über (x, y, z).
-
2
x + y + z
-
69. Definition: Eine überplanar geordnete Gruppe heißt meß-
bar, wenn der Grundsatz der Meßbarkeit (70) besteht.
70. Grundsatz: Sind a, b, c, x vier beliebige Elemente und ist
O unter (a, b, c), so ist. x unter (a, b, c), oder unter (a + a, b + b,
c+c), oder unter (a + a + a, b + b + b, c + c + c), usw.
Zahlensysteme.
71. Definition: Eine Gruppe heißt ein „Zahlensystem" und
ihre Elemente heißen „Zahlen“, wenn in ihr zwei Arten der Kom-
position bestehen und diese durch die „distributiven"*) Gesetze (72)
verbunden sind.
72. Bezeichnet man die eine Art der Komposition mit a+b,
die andere mit ab, so ist
a(b+c) = ab + ac,
(a+b) c = ac + be.
―――
73. Definitionen: Dann heißt die Komposition a + b,,Addition",
die Komposition ab „Multiplikation", und es sind in bekannter Weise
die Worte Augend, Addend, Summand, Summe, Subtrahend, Minuend,
Differenz, Subtraktion, Multiplikator, Multiplikand, Faktor, Produkt
zu erklären.
―-
=
a a
74. Sätze: Für die Addition sollen stets die Gesetze 43 bis 48
gelten. Aus dem ersten distributiven Gesetz folgt aa + a · 0 = a(a+0) =
= aa + 0, also a .0 0. Aus dem zweiten distributiven Gesetz
folgt ebenso 0· a + aa (0+ a) a
0+aa also 0.a = 0. Aus
der Geltung beider distributiven Gesetze folgt, daß die Addition kom-
mutativ ist: a + b = (− b + b) + (a + b) + ( a − a) = − b + (b + a) +
— a = b + (b + a) (1 + 1) − a − − b + b (1 + 1) + a (1 + 1)
(b + a) — a
=
a a
-
=-
-
n
*) Zuerst gebraucht von Servois (Gergonnes Ann. Bd. V, 1814, S. 93).
=
=
11
=