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I. Grundlagen der Arithmetik.
=
(-a) +b; denn es ist
-
·
Aus ax b folgt x
a + ((-a) + b) = (a + (− a)) + b = 0 + b = b.
Aus y+ab folgt y = b + (-a); denn es ist
(b + (− a)) + a = b + ((− a) + a)
Es ist 00, denn aus 0+(0) = 000 folgt (0) = 0.
50. Eine Gruppe kann „kommutativ"*) sein, d. h. es kann das
,,kommutative Gesetz" gelten:
b÷0
b.
=
a+b=b+ a.
Daß es selbst in einer nichtsingulären, assoziativen Gruppe nicht zu
gelten braucht, beweisen die,,Quaternionen“**)
a + bi + cj + dij
mit ¿² + 1 = j² + 1 = ij + ji = 0, reellen Zahlen a, b, c, d und der
Multiplikation als Komposition.
In einer Gruppe können mehrere Arten der Komposition bestehen,
z. B. im System der positiven ganzen Zahlen Addition, Multiplikation
und Potenzieren.
Geordnete Gruppen.
51. Definition: Eine Gruppe heißt „geordnet", wenn sie eine
geordnete Menge ist, in der durch die Elemente (0, a) und (-a, 0)
dieselbe lineare Teilmenge bestimmt wird und der „,additive Anordnungs-
Grundsatz" (52) besteht.
52. Grundsatz: Zwischen den Elementen a, b, c, d, ... bestehen
dieselben Ordnungsbeziehungen, wie zwischen den Elementen a + h,
b+h, c+h, ... und wie zwischen den Elementen h + a, h + b, h + c, …….
53. Folgerungen im linearen Fall: Aus a vor 0 folgt a
nach 0. Aus a vor b folgt a-b vor 0, b a nach 0,
b.
a nach
54. Satz: In einer linear geordneten Gruppe liegt a+b zwischen
a a und b + b.
Beweis: Aus (z. B.) a vor b folgt: a + a vor ab und a + b
vor bb (nach 52).
55. Satz: In einer linear geordneten Gruppe folgt aus a vor 0,
b nicht nach 0, stets a + b vor 0.
Beweis: a vor 0 gibt (52) a + b vor b; also (10) a + b vor 0.
56. Satz: In einer linear geordneten Gruppe gibt es kein Ele-
ment x vor oder nach allen andern Elementen a, b, c, ...
-
-
-
*),,Kommutativ" von Servois (Gergonnes Ann. Bd. V, 1814, S. 93) eingeführt.
**) Hamilton, Lectures on Quaternions (Dublin 1853).