Geordnete Mengen. 41. Gruppen. 42-49.
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mit
-
¿² + 1 = j² + 1 = k² + 1 = ij + ji — ik + ki
= jk+kj = (ij)k + i(jk) = 0
und der Multiplikation als Komposition.
46. Eine Gruppe kann „singulär" sein, d. h. es braucht in ihr
nicht das,,binäre" Gesetz zu bestehen:
denn es ist
Z. B. bilden die „dualen Zahlen“ a + bi, mit i²=0*) oder mit i² = + 1
und der Multiplikation als Komposition eine singuläre Gruppe.
47. Sätze: Gelten 43 bis 46, so ist:
a + 0 = a und 0+ a = a;
(a + 0) + 0 = a + (0+0) = a + 0, also a + 0 = a,
und ebenso
ά·
=
Aus a+b=a+b' folgt b = b',
aus a + b = a + b folgt a
denn
und ebenso
0+ (0+ a) = (0 + 0) + a = 0 + a, also 0 + a = a.
Ferner ist:
a + b =a nur für b
b + a = a
——
a + b = a = a + 0
b + a = a =
""
0 + a
=
""
0,
b = 0;
a - b.
=
gibt b = 0,
Ferner:
Es gibt nur ein Element 0. Denn gäbe es 0 und O', so wäre
0 + 0 = 0 = 0 + 0′, also 0 = 0'.
48. Definition: Ein Element - a, definiert durch
gibt b = 0.
a + (-a) = 0
heißt „invers“ zu a. Jede Gruppe soll durch Hinzufügen der inversen
Elemente ergänzt werden. Daß solche nicht ohne weiteres vorhanden.
zu sein brauchen, zeigt das System der nichtnegativen ganzen Zahlen,
mit der Addition als Komposition.
=
49. Sätze: Gelten 43 bis 46, so ist (-a)+a=0, d. h. (a) = a;
denn aus (-a)+ a) + (− a) − (− a) + (a + (− a)) = (− a) + 0 = -- a =
0+(-a) folgt (− a) + a = 0; und aus (− a) + (− (− a)) = 0 = (− a) + a
folgt a (− a).
Man setzt a+ (−b)
___
*) Eingeführt von Study, Geometrie der Dynamen (Leipzig 1903) p. 195; vgl.
auch: Vahlen, Über Bewegungen und komplexe Zahlen. Math. Ann. 55 p. 585.
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
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