Geordnete Mengen. 20-28.
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so folgt aus a rechts (xy), a links (xb), x rechts (ab) = (cb), c links
(xb) = (yx), c rechts (x, y). - Im allgemeinen Fall folgt aus a rechts
(xy), b rechts (xy), daß y nicht zwischen (x, a, b), also nicht zwischen
(x, a, c) oder (x, c, b) liegt. Demnach kann weder mit y links
(ab) = (ac), noch mit y nicht rechts (ba) = (bc) zusammen y nicht
links (c) sein, da sonst im ersten Fall y zwischen (xac), im zweiten
y zwischen (xcb) wäre.
24. Satz: Sind a, b, c, d vier Dinge einer planar geordneten
Menge, deren keine drei einer linear geordneten Teilmenge angehören,
so liegt von den vier Dingen entweder eins oder keins zwischen den
drei andern.
Beweis: Ist z. B. d zwischen (a, b, c),
rechts (b, c),
d rechts (a, b),
so folgt (nach 21)
a rechts (b, c),
also a nicht zwischen (b, c, d);
zwischen (d, a, b).
Ist a rechts (b, c),
b
(c, d),
(d, a),
(a, b),
C
d
""
""
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rechts (c, d),
(d, a),
(a, b),
(b, c),
links (d, b),
links (c, d),
ebenso b nicht zwischen (c, d, a), e nicht
""
22
also
rechts (c, a),
""
rechts (b, d),
(c, a),
(d, b),
(a, c),
""
""
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was nach 21 möglich ist, so ist keins der vier Dinge zwischen den
drei andern.
25. Satz: Eine aus mindestens vier, nicht einer linear geordneten
Teilmenge angehörenden Dingen bestehende Teilmenge einer planar
geordneten Menge ist eine planar geordnete Menge.
Beweis wie zu 14.
···"
26. Definition: Eine Menge heißt „sphärisch geordnet", wenn
aus ihr durch Vielfachzählung eines Dinges a, als a, a, ay,
wo die a, ẞ, y,... Dinge eine linear geordnete Menge bilden, eine
planar geordnete Menge entsteht, in der für jedes Ding b stets
b rechts (aα, as), wenn α vor B.
27. Definition: Eine planar geordnete Menge heißt „dicht“,
wenn zwischen je dreien, nicht einer linear geordneten Teilmenge an-
gehörenden Dingen der Menge ein Ding der Menge liegt.
28. Definition: Eine Teilmenge m einer planar geordneten
Menge heißt relativ dicht“, wenn zwischen je drei, nicht einer linear