Einleitung.
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reichend häufiges Abtragen einer Strecke auf einer Geraden kommt man
über jeden Punkt hinaus. Dieser Satz kann eine anschauliche Gewiß-
heit nicht für sich in Anspruch nehmen; er ist vielmehr lediglich als
die Forderung aufzufassen, daß nur Punkte in Betracht gezogen werden
sollen, für welche dieser Satz besteht. Sätze dieser Art, d. h. Sätze,
denen nichts Zwingendes und Unvermeidliches innewohnt, heißen
Postulate. Von der Art ist z. B. noch der Satz von der Stetigkeit
und das Euklidische Postulat von den Parallelen. Daraus ergibt sich
die doppelte Notwendigkeit, einerseits die Grundlagen möglichst weit
von jedem Postulat unabhängig aufzubauen, andrerseits auch neben
jedem Postulat noch die entgegengesetzten Annahmen zu verfolgen,
also nicht-meßbare (nicht-Archimedische), nicht- stetige, nicht-Eukli-
dische Geometrieen zu betrachten.
Die Begriffe der Meßbarkeit und der Stetigkeit sind wesentlich
arithmetischer Natur; einige der wichtigsten geometrischen Fragen
werden durch Zurückführung auf arithmetische ihre Lösung finden;
die Arithmetik wird Beispiele von Geometrieen liefern, die von den
empirisch gegebenen in bestimmten Grundsätzen unterschieden sind,
woraus die Unabhängigkeit dieser Grundsätze von den übrigen folgt.
Dieses sind einige der Gründe, die eine genauere Erörterung der
Grundlagen der Arithmetik erforderlich machten. Auch hier waren
mir die oben erwähnten Gesichtspunkte maßgebend. Jedoch habe
ich die Untersuchung stets nur so weit geführt, als es für ihren geo-
metrischen Zweck erforderlich war.
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