Vorwort.
VII
nicht der Fall. Es wird daher von neuem, im fünften Teile, an die
projektive Geometrie angeknüpft, indem keinerlei Voraussetzungen über
uneigentliche Elemente gemacht, dagegen metrische oder Kongruenz-
Axiome eingeführt werden. Nunmehr ergibt sich die Dreiteilung der
Geometrie in die Euklidische und die beiden Nicht-Euklidischen; und
zwar nach dem Verhalten der Winkelsumme im Dreieck zu zwei
Rechten oder, was unter Voraussetzung der Meßbarkeit auf das Gleiche
hinauskommt, nach der Anzahl der uneigentlichen Punkte auf einer Ge-
raden. Die metrische Geometrie spaltet sich daher in die projektivisch-
metrische Geometrie, in welcher uneigentliche Elemente nicht vor-
handen sind, und in die beiden affin-metrischen Geometrien.
Das Ziel des Buches: vollständige und widerspruchlose Systeme
von Grundsätzen für jede der drei möglichen Geometrien aufzustellen,
wird durch den Nachweis erreicht, daß auf Grund der aufgestellten
Sätze Koordinaten eingeführt werden können.
Als Anhang wird noch die Theorie der Flächeninhalte von
Polygonen und der Rauminhalte von Polyedern ohne Voraussetzung
der Stetigkeit oder der Meßbarkeit behandelt.
Greifswald, Januar 1905.
Vahlen.