VI
Vorwort.
zwei gleichberechtigte Annahmen auftreten, beide verfolgt werden.
Auf diese Weise ergibt sich von selbst die Gabelung der Geometrie
in die Euklidische und Nicht-Euklidische, nachdem zuvor im zweiten
und dritten Teile die hiervon unberührte projektive Geometrie be-
gründet ist und die erforderlichen arithmetischen Hilfsmittel im ersten
Teile behandelt worden sind. Hier werden die arithmetischen Grund-
sätze nach und nach eingeführt, in ihrer Abhängigkeit und Unab-
hängigkeit voneinander untersucht und verschiedene für die Geometrie
wichtige Zahlensysteme betrachtet. Diese Zahlensysteme dienen später
zur Konstruktion arithmetischer Geometrien, an denen die Unab-
hängigkeit bestimmter Sätze von anderndargetan wird; eine Methode,
die nach dem Vorgange von Peano Hilbert mit großem Erfolge ver-
wendet hat. Besondere Aufmerksamkeit wird ferner den Anordnungs-
sätzen zugewendet, und neben der sonst nur behandelten linearen
Anordnung werden auch die entsprechenden Sätze für planare und
überplanare Anordnung aufgestellt. Auf Grund der Anordnung werden
die Begriffe der Dichte, der Meßbarkeit und der Stetigkeit eingeführt,
und zwar einer Stetigkeit, die erst mit der Meßbarkeit zusammen die
Dedekindsche Stetigkeit repräsentiert, aber in vielen Fällen diese zu
ersetzen geeignet ist.
Der zweite und dritte Teil sind der projektiven Geometrie ge-
widmet, und zwar der zweite Teil den nur auf das Verbinden und
Schneiden bezüglichen sogenannten Schließungssätzen. Es stellt sich
heraus, daß diese Sätze nicht aus den Verknüpfungssätzen allein ge-
folgert werden können, falls man nicht den projektiven Fundamental-
satz oder den Pascalschen Satz als Grundsatz hinzunimmt. Infolge-
dessen werden im dritten Teile die reinen Anordnungssätze und
die Existentialsätze der Anordnung (Sätze der Meßbarkeit, Stetigkeit
usw.) eingeführt, worauf sich die vollständige Begründung der pro-
jektiven Geometrie auf verschiedenen Wegen als möglich erweist.
Der vierte Teil behandelt die affine" Geometrie, die sich von
der projektiven durch Einführung der „,uneigentlichen" Punkte unter-
scheidet, d. h. der Schnittpunkte je zweier sich nicht im Endlichen
schneidenden Geraden einer Ebene. Hier steht neben der Euklidischen
Annahme je eines uneigentlichen Punktes auf jeder Geraden als gleich-
berechtigt diejenige von Bolyai und Lobatschefsky, daß auf jeder Ge-
raden deren mehrere liegen. Demgemäß zerfällt die affine Geometrie
in eine Euklidische und eine Nicht-Euklidische. Während nun die
Nicht-Euklidische affine Geometrie unter Annahme der Stetigkeit und
der Existenz von Affinitäten vollständig, auch in ihrem metrischen
Teile begründet werden kann, ist dies für die Euklidische Geometrie