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Fälle von zu bezeichnen. Dabei ist das Wort Fall anders gebraucht
als in den letzten Ausführungen, wo es immer einen individuellen Fall
bezeichnet. Es ist dann: 1 ทเ . 0 (B1)
also b
Ist nun
b
=
= m
bk
b'
2
ein a zum Beispiel äquivalent der Disjunktion ẞ, Xß₂X... XBg, wo
g <m ist, so hat man für ∞ (a) den Ausdruck b₁+b₂+...+bg oder
g welches die Grundformel der Wahrscheinlichkeitsrechnung
b
g bk
"
m
m bk
in der gewöhnlich angeführten besonderen Gestalt ist (,Anzahl der
günstigen, durch die Anzahl aller gleichmöglichen Fälle“).
=
0 (8.₁, — ẞ') =
m
Die Schwierigkeit der Auffindung gleichmöglicher Fälle" ist nur eine Schwierig-
keit in der Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier gilt es, eine Tat-
sache zu finden, deren Fallbereich mit dem des vermuteten Objektivs a zahlenmäßig
verglichen werden kann. Man sucht den vorliegenden Tatbestand (aus dem die
Vermutung von a begründet werden soll) in einem solchen Objektiv 8 zu erfassen,
daß man berechtigt ist, alle individuellen Fälle von wie bloß individuell
verschiedene, das heißt wie bloß nichtidentische, aber gleiche zu behandeln,
obwohl man eventuell um Objektive weiß, die in einzelnen Fällen von 8 als verschiedene
Nebenumstände hinzukommen. Es handelt sich also darum, bei der Auffassung des
Tatbestandes im passend gewählten Objektiv 8 bloß von solchen veränderlichen
Begleitbestimmungen (der Fälle von 3) abzusehen, die als belanglos für die Fälle
von gelten dürfen: solche sind zunächst die bloß individuell verschiedenen Be-
stimmungen der Lage im Raume und in der Zeit. So sind die Flächen eines richtig
gebauten Würfels bloß individuell verschieden (im Idealfalle), da zwei Flächen zur
selben Zeit nur nichtidentische Stellen im Raume oder dieselbe Stelle im Raume zu
bloß nichtidentischen Zeiten einnehmen. Handelt es sich also um die Wahrschein-
lichkeit eines bestimmten Wurfergebnisses, so hat man die Aufgabe gelöst, wenn man
die Tatsache (B) auffaßt, daß der Würfel auf die Fläche f, oder auf f, u. s. w. fallen
wird. Damit ist der Bereich der möglichen Fälle (von 8) in lauter gleiche Teilbereiche
zerlegt, die sich bloß durch ihre Beziehung zu nichtidentischen, aber gleichen Gegen-
ständen (f, f...) voneinander unterscheiden mit um so besserer Annäherung,
je mehr der Würfel den Anforderungen an einen „richtigen" entspricht. Vgl. § 41.
= @ (8.). @ (8',,).
•
110. (Satz.) Sind ẞ und B' verträgliche und voneinander unabhängige
Objektive,¹) so ist die Möglichkeit für das Zusammentreffen eines Falles
von 8 mit einem Falle von B' (unter der Voraussetzung 7) gleich dem
Produkte der Möglichkeitsbeträge für das Eintreffen der einzelnen Ob-
jektive (unter derselben Voraussetzung y):
=
Beweis. Bezeichnet man ßß' mit a, so ist aß und es gilt der
Satz (106), w (a,, Õ) : ∞ (ẞ„,, Õ) = = ∞ (ag, 0) oder (a.) v (az). w (ẞ„),
wo die Multiplikation als arithmetisch aufzufassen ist. Es ist aber o (a
= w
» (B3 ← B′g) = ∞ (Õ ± ß′3) = ∞ (8′3) ; und da nach der Voraussetzung
das Zutreffen von ẞ in keiner Weise die Möglichkeit oder Wahrschein-
lichkeit für 8' beeinflussen soll, also für diese Möglichkeit auch in einem
Falle, wo zutrifft, nur die Voraussetzung y in Betracht kommt, hat
(83) den Wert von @ (B). Es ist also o(a): = œ (³,,) . œ (ß′,). ²)
1) Die Unabhängigkeit ist hier so verstanden, daß zum Beispiel aus dem Zu-
treffen von 8 für das Zutreffen von ' keine Änderung des Möglichkeitswertes folgt,
der sich aus y dafür ergibt.
2) Zum Beispiel bedeute By, daß mit einer Münze,,Adler" geworfen werde (B),
wenn die Münze und ein Würfel geworfen wird (7), und es bedeute B', daß mit