45
109. (Satz.) Sind a, b die Geltungsbereiche der Objektive a, B
(nach ihrer Größe aufgefaßt), so ist (wenn aẞ ist) die Möglichkeit
(a, B) gleich der Größenähnlichkeit, also dem Größenverhältnisse von
a zu b:
b
c'
a
b'
-
w (a, f) = w (a, b)
(a < b)
Beweis. Daß zunächst eine Funktion ƒ (a, b) der Gebietsgrößen a, b
besteht, die die Größe von @ (a, 8) angibt, geht aus dem eindeutigen
Zusammenhange der Objektive a, ẞ mit ihren Geltungsbereichen hervor. ¹)
Nach 105 und 106 ist nun ƒ (a): ƒ (b) = f (a, b), wenn a, und be die
in Einheiten c gemessenen Größen der Bereiche von a, und ẞ., bezeichnen,
gemäß dem Umstande, daß durch die Voraussetzung y = 0 eben c = i,
also die Größe c als Einheit angenommen worden ist. Demnach ist a
gleichbedeutend mit 2, be mit Man hat also auch
a
ƒ (ac, 1) : ƒ (bo, 1) = ƒ (a, b) = ƒ (ur, 1) = ƒ (%, 1).
f
Da der Zeiger c in dem zuerst angeschriebenen Verhältnisse offenbar
belanglos ist (denn er entfällt bei der Umformung), kann man, wenn
ƒ (x) für ƒ (x, 1) gesetzt wird, auch schreiben:
f (a) =ƒ (%).
f(b)
Daraus folgt ƒ (a) = aª und mit Rücksicht auf ƒ (a,b) = ƒ (“) weiter
ƒ (a, b) = (†)*,
f
wo
eine vorläufig unbestimmte Konstante bedeutet.
Da nun nach 108 für zwei Bereiche a,, a,, die einander ausschließen
und zu ergänzen, auch ƒ (a,, b) +ƒ (a, b) = ƒ (b,b) = 1 gilt, so muß
offenbar = 1, also
(a <b)
sein.
Daher ist die Ähnlichkeit der Geltungsgrade von Objektiven gleich
der Größenähnlichkeit der Geltungsbereiche, wenn die Objektive einer
Folgenreihe angehören.
Zusatz. Um a mit b zahlenmäßig vergleichen zu können, sucht man
den Bereich bin eine Anzahl disjunkter), gleich großer Teilbereiche
aufzulösen. Man drückt ẞ durch ein Äquivalent ẞ, XB X...X Ẩm aus,
wo Bẞ= I für jedes Paar ungleicher Zeiger k, h aus der Reihe
1 bis m gilt und alle B (bei beliebigem, der genannten Reihe ent-
nommenem k) gleich möglich sind. Die besonderen Objektive B, Unter-
objektive des allgemeinen Objektivs 8, pflegt man als gleichmögliche
Ph
a
f (a, b) = % = ∞ (a, b)
b
1) Die Funktion fƒ (a, b) darf aber nicht ohne weiteres als identisch mit o (a, 3)
betrachtet werden, etwa auf Grund der Definition 97. Denn dort sind nicht die Be-
reiche a und b das Verglichene, sondern einzelne Dinge Ja und JB.
2) das heißt einander ausschließender. Vgl. E. Schröder, Vorlesungen über
die Algebra der Logik, I. Bd., S. 212, 214.