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Beweis. u (a, 7) [a] [z] bedeutet die Klasse jener Folgen von a,
die nicht auch Folgen von sind. Da [7] ganz in [a] eingeschlossen
und nicht gleich [a] ist, stellt [a] [7] das Restgebiet von Folgen des a
dar, das nach Abzug des Folgengebietes [7] übrigbleibt, kann also als
Gebiet [a] [7] aufgefaßt werden, wobei die Differenz denselben Sinn
hat wie etwa bei der Subtraktion eines Flächeninhaltes von einem
andern, der ihn ganz einschließt. Ebenso gilt u (a, ẞ) [a] — [B],
u (B, r) [8] [7]. Die arithmetische Addition der Gebietsgrößen
([a] [B]) + ([B] — [7]) ergibt aber [a] [7], welches die Gebietsgröße
u (a, y) ist.
=
-
—
―――――
-―――――
――――――
-
93. (Satz.) Sindy (a, b), y (b, c), y (a, c) die Größen oder auch
die Maßzahlen der ebenso bezeichneten Verschiedenheiten, so gilt, unter
der Voraussetzung aẞ> 7, die Beziehung
y (a, c) = y (a, b) + y (b, c).
Der Beweis liegt im vorhergehenden Satze.
94. (Satz.) Ist a
u (ay, ẞ + y) = u (a, ß),
wenn ay, By arithmetische Summen im Sinne der Definition (85)
also ohne Absorption sind.
―
8, y derselben Folgenreihe angehörig, so ist
Beweis. Addiert man y zu jedem der übrigen Objektive des Ge-
samtbereiches, so ist y im ganzen zugehörigen Dingbereiche erfüllt, also
Ŏ, und die Gleichung gilt. Da aber dabei an u (a, ẞy) sich nichts
geändert hat, gilt sie allgemein.
95. (Satz.) Für Anzahlen a, b, c gilt
Hier bedeuten a und n Anzahlen.
-
I.
y (ac, bc) = y (a, b).
II.
Der Beweis ergibt sich aus dem vorhergehenden Satze mit Rück-
sicht auf die Definition des arithmetischen Produktes (86).
96. (Satz.) Die Größenverschiedenheit zwischen einer reellen,
positiven Zahl x und der Zahl 1 ist gemessen durch den Logarithmus
der Zahl x:
❤ (x, 1) = log x
oder
y (x) = log x,
❤ (an) = n. ❤ (a).
wenn_g(x) = y (x, 1) gesetzt wird.
...
Beweis.¹) Aus dem Additionstheorem (I) folgt zunächst
¶ (a", 1) = ç (a", a"−1) + ç (a"−1, a”—2) + ·
an-
+y (a, 1).
Nach II ist jeder Posten dieser Summe gleich y (a, 1) oder y (a),
daher gilt:
a
1) Er ist mit Absicht etwas breit durchgeführt worden, und es wurde die Ge-
legenheit benutzt, einige für die Kenntnis der Größenverschiedenheit wichtige Be-
ziehungen dabei aufzuzeigen. Aus den Funktionalgleichungen I und II kann man
den behaupteten Satz durch geeignete Differentiationen direkt gewinnen.