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Beweis. Unter der Voraussetzung aẞr geht (nach 69)
[a] [r] + [a] [y] über in [7] + [a],
[a] [8] + [a] [B]
[B] + [a],
[P] [r] + [P] [r]
in
in
[x] + [8].
g (a, y) =
g (a, B)=
g (B, y)
=
Daher ist g (a, ẞ) · g (8, y) = ([3] + [a]) · ([r] + [3]) = [3] [r] +
+ [a] [r] + [3] [38] + [a] [³] = [r] + [a] = g (a, y).
(Es ist nämlich [6] [7] [7] wegen [8] > [r], [a] [r] = [0] wegen
=
[a] > [r], [8] [B] = [0], [a] [3] = [a] wegen [a] > [8].)
Folgesatz. Ist a ẞy, so ist g (a, y) < g (a, ß) und
g (a, y) <g (B, y).
89. (Satz.) Ist aẞ> 7, so ist der Folgenunterschied von a und y
gleich der (logischen) Summe der Folgenunterschiede von a und ẞ und
von und 7:
u (a, y) = u (a, ẞß) + u (ẞ, y).
Beweis. Unter der Voraussetzung a➤ẞy geht (nach 69, Zusatz)
u (α, y) = [a] [r] + [a] [r] über in [a] [y],
u (a, B) = [a] [B]+[a] [8]
u (B, y) = [B] [r] + [B] [r]
[a] [B],
[B] [7].
in
in
ß)
=
.
Daher ist u (a, ẞ) + u (3, y) = [a] [B] + [8] [7]. Nun ist¹) [a] [7]
= [a] [y] · [B] + [a] [r] • [B], und das ist wegen [a] > [8] und wegen
[P] < [7] gleichbedeutend mit [3] [7] + [a] [B], also mit u (ẞ, y) + u (a, ß).
Folgesatz. Ist a >>, so ist u (a, y) > u (a, ẞ) und
u (a, y) > u (ẞ, r).
Bemerkung. In den Sätzen 88 und 89 kann die Voraussetzung
aß auch durch aẞy ersetzt werden.
> y ß
§ 22. Die Größe der Größenverschiedenheit.
90. (Definierender Grundsatz der Messung.) Zwischen der
Maßzahl und der Einheit 1 besteht dasselbe (Größen-)Verhältnis wie
zwischen der gemessenen Größe und der Maßgröße.
91. (Festsetzung.) Wir setzen die Größe der Verschiedenheit
(Ja, J³), wofür im folgenden der Einfachheit wegen (a, b) ge-
schrieben werden soll, gleich der Größe des für sie definierenden Folgen-
unterschiedes u (a, ẞ).
Diese Festsetzung hat ihren Grund darin, daß die Verschiedenheit
(a, b) äquivalent ist dem Bestehen des Folgenunterschiedes u (a, ẞ).
Was also hier festgesetzt wird, ist eigentlich nur der Gebrauch des
Namens Verschiedenheit für die Relation y (a, b): wohl nichts anderes als
eine Explikation dessen, was man gewöhnlich unter diesem Namen meint.
92. (Satz.) Die Beziehung u (a, y) = u (a, ẞ) + u (ẞ, y) für
aẞy besteht auch als Größenbeziehung zwischen u (a, y) und der
arithmetischen Summe rechts.
1) Wegen der Beziehung a a i a (b + i)
= ab+ał.