35
Es gilt also immer
daher insbesondere
a; ßi > aj, ai & Bi > ßi,
aj aj > a¿.
86. (Definition.) Sind a, b Anzahlen und bedeutet def a, beziehungs-
weise defb einen (individuellen) Fall des Anzahlenobjektivs def a, be-
ziehungsweise def b, so heißt
абель
= ab
das arithmetische Produkt des Multiplikanden a und des Multiplikators b.
Es bedeutet adef b jene Menge von „Dingen"
jene Menge von „Dingen" a (die hier insbesondere
Mengen sind), die das definierende Objektiv der Menge b erfüllt: also
die Menge von b Mengen a.
Bemerkung. Das arithmetische Determinat" adef b unterscheidet
sich von dem logischen durch die Geltung des Grundsatzes 85. An Stelle
des abstrakten Vertreters der Dinge a, das heißt der Klasse dieser Dinge,
tritt hier der Vertreter einer Menge von Dingen a, das Abstraktum
„Dinge a“ oder „Menge von Dingen a" als Determinand (a) auf. Und
als Determinator wird in def b ein Fall des Anzahlenobjektivs def b ge-
setzt, wovon auch kein Folgefall in einem def a, das ein Ding a erfüllt,
schon eingeschlossen ist.
=
Folgesätze. 1. Die Bedeutung von 1def a ist 1. a oder a. - 2. Dem-
nach ist abadeƒ b = (1 def a) def b 1def a def b. Hier bedeutet der
letzte Ausdruck eine Menge von Dingen 1, die einen Fall des definierenden
Objektivs von a erfüllt und zugleich einen individuell völlig davon ver-
schiedenen Fall des Anzahlenobjektivs (der Vielheit) von b (gemäß 85).¹)
87. (Satz.) Für die arithmetische Addition und Multiplikation
gelten alle Sätze, die für die entsprechenden logischen Operationen be-
stehen und mit der Geltung von J für die in ihnen auftretenden Terme
verträglich sind, soweit keine Negation darin vorkommt. Vgl. 78, F. 1, 2.
IV. Anwendung auf Messungsprobleme.
§ 21. Zwei Hilfssätze über Folgenklassen.
88. (Satz.) Ist aẞy, so ist die Folgegemeinschaft von a und y
gleich dem (logischen) Produkt der Folgegemeinschaften zwischen a und B
und zwischen ß und y:
g (a, y) =g (a, ẞ). g (B, y).
1) In 1def 3 deƒ 2 ist zum Beispiel durch die Hinzufügung von def 2 zu def 3
nicht das Objektiv „Zweiheit" noch einmal aufgefaßt, das zufolge der Setzung der
Dreiheit (def 3) selbstverständlich zutrifft, da ja, wenn die Menge drei Dinge umfaßt,
auch zwei Dinge darin vorhanden sind. Vielmehr setzt man in def 2 einen ganz
neuen Fall von Zweiheit, nämlich die Zweiheit der durch 10ef 33 dargestellten
Mengen, erhält also 3.2. Die so aufgefaßte Menge von Dingen 1 erfüllt aber beide
Objektivfälle, def 3 und def 2 zusammen, da sie einerseits einer Menge von 3 Dingen 2
und andererseits einer Menge von 2 Dingen 3 identisch ist.
3**