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81. (Definition.) Gilt a (<) b, b (←) a für zwei individuelle Mengen
a, b, so gilt
a <b,
„a kleiner als b“, für jede Menge, die gleich a, und jede Menge, die
gleich bist.
Die Menge a heißt also kleiner als die Menge b, wenn eine Teil-
menge von b, nicht gleich b, besteht, die gleich a ist.
§ 20. Verknüpfungen von Dingen und von Fällen.
82. (Definition.) 1 bedeute ein Ding einer eben betrachteten
Art (die dann i heißen kann). Nach J, gilt dann nicht allgemein
1= 1,¹) wohl aber gilt 1 = 1.
83. (Definition.) Ist a eine Menge von Dingen 1, 1′ ein (indivi-
duelles) Ding derselben Art, so ist
-
a + 1) a, a + 1′ (→) 1', a + 1'() x für jede Menge x, für
die gilt: xa, x) 1', und es heißt a + 1 die Summe von a und 1'.
-
84. (Grundsatz.) Es gilt a + 1′ (<) a. Das heißt, ein Ding, das zu
einer Menge (arithmetisch") addiert wird, gehört dieser Menge niemals
schon an. Da das für sonst beliebige Individuen 1 der eben aufgefaßten
Art gilt, schreiben wir
a+1() a (also a + 1> a).
Bemerkung. Die Definition der Summe a+b ergibt sich nun
von selbst. Offenbar gilt allgemein a+b> a, a + b > b.
Insbesondere können nun die Anzahlen definiert werden, zum Bei-
spiel 2 oder 1+1 als Menge, die gleich 1′1″ ist, u. s. w. (Die „reine
Zahl" 2 ist der abstrakte Vertreter aller Mengen von dem Vielheitsgrade,
der 11" kennzeichnet.)
Auch die Beziehungen
1 <2 <3 <...
sind schon im Vorhergehenden erklärt und begründet.
85. (Definition und Grundsatz.) Bedeutet a; einen (individuellen)
Fall von a, B; einen Fall von ẞ, so ist a; ß; durch die gewöhnliche
Summendefinition (10) erklärt. Es gilt jedoch der Grundsatz: Werden
zwei Objektivfälle addiert, so ist kein Folgefall des einen im andern
Summanden (als Fall) schon eingeschlossen. (Durch die Addition von
a; und ; wird also niemals derselbe individuelle Fall zweimal gesetzt.)
1) Hierin, also in J₁, liegt die Möglichkeit der Geltung des Grundsatzes 84
begründet, das heißt, gilt J, nicht, so kann auch 84 nicht gelten, sondern man hat
eine Addition, für die das Absorptionsgesetz besteht.
In der Geltung der Absorption findet schon Boole den wesentlichen Unter-
schied der logischen Operationen gegenüber den arithmetischen. G. F. Lipps (Mythen-
bildung und Erkenntnis, Leipzig und Berlin 1907, S. 126) sieht ihn in der „Iterierbar-
keit der Bestimmungen", die der Mathematik zugrunde liegen". (Auch er geht
übrigens bei seiner Entwicklung der Grundlagen der Arithmetik von der Grund-
beziehung des Folgens aus.) W. Frankl macht mich darauf aufmerksam, daß
schon Platon den in Rede stehenden Unterschied in seiner Weise vermerkt hat.
Vgl. Frankl, Inhalt und Umfang von Begriffen, Archiv für systematische Philosophie,
17. Bd. (1911), S. 447, Anm.
圃
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