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3. Die Folgeverschiedenheit ist die Negation der Folgegleichheit.
68. (Definition.) Ist keine Folge von a auch Folge von ẞ, keine
Nichtfolge von a auch Nichtfolge von B, so heißen a und folgenfremd".
Folgesätze. 1. Die Folgegemeinschaft folgenfremder Objektive
ist [0], ihr Folgenunterschied daher [I].
2. Die Folgenfremdheit ist die Negation der Folgeverwandtschaft.
3. Folgenfremd sind Ō und Ĩ. Denn es ist
g (0, 1) = [0] [1] + [0] [1] = [0] + [1] [0] = [0] + [0] = [0].
4. Folgenfremd sind daher auch zwei kontradiktorische Objektive
(32) wie a und a, sofern eines von ihnen wahr, also äquivalent mit Õ,
das andere falsch, also äquivalent mit Ĩ ist: g (a, ā) = [0]. Vergleiche
übrigens 74, 2.
Zusatz. Ist [a] <[B], also nach 36 auch [B][a], so haben a, B
keine gemeinsamen Folgen, können aber doch gemeinsame Nichtfolgen
haben. Sie können dann folgenfremd in einem weiteren Sinne des
Wortes heißen.
In dieser Weise folgenfremd sind zwei „subkonträre" Objektive wie
abŎ und abỎ („einige a sind b“, „einige a sind nicht b“, vgl. 73,
Anm.), wobei vorausgesetzt ist, daß a und b nicht leere Klassen sind. Für
die Folgegemeinschaft der beiden Objektive ergibt sich [ab‡0] [ab‡0]+
+[abÔ] [ab = 0], wovon der erste Summand [0] sein muß, da eines
der Objektive wahr, also einer seiner Faktoren [0] ist: es bestehen also
keine gemeinsamen Folgen. Dagegen ist der zweite Summand nicht
äquivalent [0], da die Objektive verträglich sind, also beide wahr sein
können (vgl. auch 74).
69. (Satz.) Die Abhängigkeit ist Folgeverwandtschaft durch den
Folgeninbegriff des Folge- und den Nichtfolgeninbegriff des Grund-
objektives.
Beweis. 1. Ist aẞ, so ist aXB = ẞ (17), also [a] [B] = [8] und
andererseits ist [a] [B], also [a] [8] = [a]. Daher ist dann g (a, ẞ)
<
[B]+[a].
=
=
2. Wird nun umgekehrt g (a, ß) = [ß] + [a] oder, was das gleiche
ist (66), u (a, 8) = [a] [B] + [a] [8] [a] [8] vorausgesetzt, so folgt,
nach 22, [a] [B][a] [B] und daraus, nach 34 (39), [a] [8] · ([a]+[8]) = [0],
also [a] [8] = [0], das heißt [3] <[a] oder a B.
Zusatz. Ist aẞ, so ist u (a, ẞ)
[a] [B], und umgekehrt.
70. (Satz.) Unabhängigkeit zwischen a und ẞ ist Folgeverschieden-
heit durch a und ẞ selbst (als nichtgemeinsame Folgen der beiden Ob-
jektive).
=
=
Beweis. 1. In u (a, ẞ) [a] [B]+[a] [B] enthält der erste Sum-
mand sicher a, da aß ist, der zweite sicher ß, da ßa ist. (Daraus
folgt aber nicht, daß u (a, B) auch alle Folgen von a, also [a] und alle
Folgen von ẞ, also [P] umfaßt.)
2. Umfaßt der Folgenunterschied u (a, ẞ) die Objektive a und ß,
so folgt, daß aß und ẞa ist, das heißt, daß a und ẞ unabhängig
voneinander sind.
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