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Beweis. Ist eine Folge von 8, also y[B], so ist, wenn aẞ gilt,
aß
nach T, auch y← [a]. Das heißt, jedes Ding von [8] ist, unter der Voraus-
setzung aẞ, auch ein Ding von [a]. Aus a folgt also [8][a].
Da auch die Umkehrung zutrifft, besteht also die behauptete Äquivalenz.
63. (Satz.)
[a X B] = [a] [8].
Beweis. aXB ist das Objektiv, daş alle gemeinsamen Folgen
von a und zu Folgen hat und nur sie (denn es ist sowohl in a als
auch in als Folge eingeschlossen). Die Klasse der Folgen von a B
ist also definitionsgemäß die Klasse der Folgeobjektive, die in [a] und
in [8] zugleich enthalten sind.
Zusatz. Dagegen gilt nicht [a ✅ 3] = [a] + [3], sondern nur
[aß]
[a] + [8].
Es ist nämlich [aẞ] [§] für jede Folgen klasse [], für die
[§] → [a], [§] → [8] gilt, das heißt für jedes Objektiv §, das sowohl a als
auch 8 zur Folge hat. Indessen ist [a] + [B]<r für jede sonst be-
liebig zusammengestellte Klasse von Objektiven, wenn nur
*> [a], x [8] ist. Es gibt aber Objektivklassen y, die nicht alle Folgen
eines Objektives § enthalten. Bedeutet zum Beispiel [a] den Inbegriff
der Bestimmungen, die dem gleichseitigen (ebenen) Viereck zukommen,
[8] den Bestimmungsinbegriff des rechtwinkligen Viereckes, so sind in
[a]+[8] alle Objektive enthalten, die von jedem Rhombus gelten, und
alle Objektive, die von jedem Rechtecke gelten. Aber das Objektiv, daß
alle diese Bestimmungen an einer Figur bestehen, kommt weder in [a]
noch in [8] vor, es ist also auch in [a] + [8] nicht enthalten. Dagegen
ist es in dem Bestimmungsinbegriff [a] des gleichseitigen und
rechtwinkligen Viereckes oder Quadrates eingeschlossen.
64. (Definition.) 1. Ist
oder ist
[a] > [7], [8] → [7], [7] > [Õ]
[a] > c', [B]> c', c′ > [Õ]
oder ist beides zugleich der Fall, so heißen die Objektive a, ẞ folge-
verwandt" oder ähnlich, und zwar im ersten (und dritten) Falle folge-
verwandt im engeren Sinne, im zweiten folgeverwandt im weiteren Sinne
(nämlich bloß durch gemeinsame Nichtfolgen).
2. Ist außerdem
[7][§] für jedes [§], von dem gilt [a] [§], [8] → [§],
und ist
cy für jedes y, von dem gilt [a] y, [3] y,
so heißen a, B folgeverwandt oder ähnlich vermöge des gemeinsamen
Folgeninbegriffes [7]", beziehungsweise „vermöge des gemeinsamen Nicht-
folgeninbegriffes c", beziehungsweise vermöge beider zugleich".
Man erkennt, daß [7] die Definition des Produktes [a] [8] erfüllt,
c' die des Produktes [a]. [B].