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Beweis. Ersetzt man in den Voraussetzungen der Summendefini-
tion (10) o, a, ẞ, § durch ō, ā, §, 5, so kehren sich alle Einschließungs-
beziehungen (nach 36) um, und man erkennt unmittelbar, daß ō, das
heißt aß, die Definition des Produktes aß erfüllt.
38. (Satz.)
a X ß = ã÷ B.
Die Negation eines logischen Produktes ist äquivalent der logischen
Summe der Negationen seiner Faktoren; oder: verneinen, daß a oder ẞ
zutrifft, heißt behaupten, daß a nicht zutreffe und ẞ nicht zutreffe.
Der Beweis ist dem zu 37 analog. Man kann übrigens auch 38
aus 37 ableiten oder umgekehrt, oder man kann beide Sätze zugleich
mittels der doppelten Negation aus dem Kontrapositionsgesetze gewinnen.
Die Sätze 37 und 38 sind unter dem Namen der Kontrapositions-
formeln von De Morgan bekannt.
39. (Satz.) Es bezeichne ₁ (f, X, >) eine Einschließungs-
beziehung zwischen additiven und multiplikativen Verknüpfungen von
Objektiven, (†, X, ✈) eine Beziehung derselben Art. Besteht nun
zwischen beiden eine Beziehung von der unten angegebenen Form,
so gibt es dazu, nach R, eine reziproke, F, von der Art der daneben
verzeichneten, worin (gegenüber ) durch., X durch + ind
durch ersetzt ist.
P...₁(+, X, >)>¶¿(~,X,>)
1
2
F...ƒ₁(,,+,<)<ƒ2 («, +, <).
und +, für die man aus F erhält, wenn man in den „primären"
Wegen der formalen Übereinstimmung der Definitionen für
und (vgl. 26, Anm.) gilt aber auch
und +, für X und ., für
die Beziehung ',
Relationen ƒ die Verknüpfungen und Beziehungen durch ihre formalen
Gegenstücke ersetzt, während die „sekundäre“ Beziehung, die zwischen
den primären f, und f, besteht (sowie etwa auftretende sekundäre Ver-
knüpfungen, d. h. Verknüpfungen zwischen Einschließungsbeziehungen),
eben wegen der genannten formalen Übereinstimmung auch zwischen
den formalen Gegenstücken jener Primärrelationen (den í und 92) er-
halten bleibt, also durch die ihr äquivalente Beziehung ausgedrückt
werden kann. Zu der so gefundenen Beziehung besteht dann wieder
die reziproke, F. Man hat also
f,
P'... 9; (X,,<>9;(X, ←, < F'...fi(+, -,>)<ƒ'¿(+,.,>).
Man nennt die Beziehungen und 'einander dual entsprechend,
ebenso ƒ und f'; in einem weiteren Sinne können auch und F
duale Gegenstücke zu und F heißen. Jeder Satz von der Art Ø (oder
F, P, F) vertritt demnach eine Vierzahl von Sätzen, P, F, Þ', F', eine
Tatsache, die sich eine systematische Darstellung der symbolischen Logik
entsprechend zunutze zu machen hätte. Insbesondere sind in 32 bis 38
auch die entsprechenden Definitionen und Sätze für Klassen mitgegeben.
Zusatz. Ist a eine Klasse, so heiße a nicht ihre Negation
denn Negationen gibt es nur von Objektiven, und sie selbst sind auch
Objektive, sondern das Negat¹) von a. Es ist die durch a, die Nega-
tion von a, definierte Klasse. Man nennt a und a sowie a und à einander
kontradiktorisch entgegengesetzt.
1) Vgl. Schröder(-Müller), a. a. O. I, § 30.
E. Mally, Grundlagen der Logik.
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