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Folgesatz. Wegen der Kommutativität der logischen Addition
und Multiplikation kann man die Beziehungen N auch so schreiben:
ā ± α = 1,
à Xa =.
Es erfüllt also a die Definition der Negation von a, die mit ā zu
bezeichnen wäre:
a← ā,
das heißt, a ist (ein Fall der) Negation seiner eigenen Negation.
33. (Satz.) Alle Negationen äquivalenter Objektive (daher auch
eines Objektivs) sind äquivalent; oder die Negation ist eindeutig.
Beweis. Erst sei bemerkt, daß
(a = B)
(& X g ≤
(a Xy=
ist. Gilt nämlich aẞ, so gilt auch a
yß; und da auch a X r < r
ist, gilt (nach 16) a rẞX7. Ebenso ergibt aß die Beziehung
a XrBr. Auf Grund dieser Tatsachen darf man also beide Seiten
einer Einschließung, daher auch einer Äquivalenz, mit einem und dem-
selben Objektiv (7) multiplizieren".
n
Es genüge nun neben ā auch ein a' der Definition 31. Dann hat man
a X a' = Õ = a X ã, a — a' =Ï = aƒ ã.
Aus a a' a ã erhält man durch Multiplikation beider Seiten
mit a die Beziehung
a X a' a' = a × a' ƒ ã × a′ oder Õ — a′ = Õ ± à X a',
durch Multiplikation mit à die Beziehung
a Xưa Xa=aXia oder Õa Xa=0.
Es ist also a' = à X a' und a′ X ā = ā, daher
a' = ā.
Folgesätze. 1. Daraus und aus 32 F. folgt
daher (nach 16)
also (F. 27)
=
a = ā,
das heißt: a ist der Negation seiner Negation äquivalent, ist in diesem
Sinne die (nicht nur eine) Negation seiner Negation. (Satz von der
doppelten Negation.)
2. Insbesondere ist (27, 28)
Ŏ
34. (Satz.)
=
I, I = 0.
(a≤ 8) = (a × B = 0).
Beweis. 1. Ist a 8, so hat man (mit Rücksicht auf die De-
finition 14 des Produktes):
aßaß,
aXBB,
α
aX阝​<阝​XB<0,
aX B = 0.