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Ĩ ist also ein Objektiv, das jedes Objektiv als Folge einschließt,
so daß, wenn I gilt, jedes beliebige Objektiv gilt.
Folgesatz. Alle 1-Objektive sind äquivalent. Ist nämlich ein
α § für jedes beliebige §, so ist auch a✈ I. Da aber nach der De-
finition aĨ immer gilt, so ist dann a = I. Dasselbe gilt für ein ß,
sofern für jedes § besteht. Es ist also dann a = ẞ.
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Anmerkung. I-Objektive sind alle in sich widersprechenden,
zum Beispiel „A sein und (zugleich) nicht A sein", das heißt, daß etwas A
und nicht A sei". Denn da kein Ding, das heißt, nichts A und auch nicht
A ist, von nichts aber Beliebiges zugleich ausgesagt werden kann — zum
Beispiel nichts ist B und ist nicht B, ist C und auch nicht C" u. s. w. —,
so ist (wäre) in einem Falle, wo I erfüllt ist (wäre), auch jedes beliebige
Objektiv erfüllt. (Natürlich ist I nicht von einem bestehenden Gegen-
stande erfüllt.)
Folgesatz. Mit Rücksicht auf 13 und 17 ergibt sich
für jedes Objektiv a.
29. (Satz und Definition.) Es besteht eine Klasse i, so daß
i>x
a f I = I,
a XI = a
für jede beliebige Klasse x gilt.
Beweis. Jedes Ō-Objektiv definiert eine solche Klasse. Und da
Õ-Objektive bestehen, besteht auch die Klasse i als reziproker Term
dazu. (Der Relation entspricht reziprok i ⇒ x.)
Anmerkung. Die Klasse i umfaßt alle Dinge, die in irgendwelchen
der betrachteten Klassen x vorkommen.
30. (Satz und Definition.) Es besteht eine Klasse Ŏ, so daß
Ŏ ← x
für jede beliebige Klasse x gilt.
Beweis. Jedes I-Objektiv definiert eine solche Klasse. Es be-
stehen zwar keine Dinge, die ein Ĩ-Objektiv erfüllen, es besteht aber
doch der Begriff solcher Gegenstände, und seinen Umfang bezeichnen
wir mit 0. Da von der Klasse Ŏ vorausgesetzt ist, daß sie kein Ding
enthält, was jede durch I definierte Klasse erfüllt, so liegt im Begriffe
der Ŏ-Klasse kein Widerspruch (sondern nur in dem eines Dinges
dieser Klasse).
für jede Klasse a.
Anmerkung. Die Klasse Ŏ umfaßt kein Ding oder nichts. Wir
nennen sie die Klasse „Nichts" oder „Null", auch die leere Klasse. (Alle
leeren Klassen sind, nach einem Folgesatze von 28, identisch.)
Zusatz. Nach R gilt natürlich
από
a Ŏ
•
= a,
Ů,
=
a+i
i
a
·
=
= α
i,