11
23. (Satz.)
a X (Br)
a X B + a X r.¹)
Beweis. aa X ß, a➤ a Xr gibt (nach 12)
a a X B a X r.
Daraus und aus Braß, ß + y ✈ a X y, also (12) ẞ fr
a X Ba X7, folgt (nach 16) der behauptete Satz.
24. (Grundsatz.)³)
a X (B + y) < a X ß ÷ a X r.
Aus diesen beiden Sätzen ergibt sich:
25. (Satz der Distributivität.)
a X (3 + y) = a × ẞ + a × 2.
26. (Satz.) Die Distributivität (der Multiplikation) besteht auch
für Klassen:
a. (b + c) = ab + ac.
Beweis.) Nach R folgt aus 25
a+bc = (a + b) (a + c).
Setzt man einstweilen die Distributivität für den Ausdruck rechts
voraus, so ergibt er aa + ab + ac + bc, welches auf Grund der Ab-
sorption (22) gleichbedeutend ist mit abc. Da dieses die linke Seite
der Äquivalenz ist, hat man damit die Distributivität in der Form
(a + b) (a + c) = aa + ab + ac+bc, daher insbesondere auch
(a + b) c = ac + be
erwiesen, welches unsere Behauptung (in anderer Form) wiedergibt.
Anmerkung. Die Operation im Gebiete der Objektive stimmt
formal überein mit der Operation + im Gebiete der Klassen. Sie unter-
scheidet sich aber von dieser darin, daß sie eine Setzungsoperation,
nämlich eine Verknüpfung von Setzungen in einem Setzungsakte ist.
Betrachtet man die Objektive a und ẞ als Klassen ihrer Fälle, so können
sie durch die Klassenaddition verbunden werden. Aber a + be-
deutet wesentlich anderes als a 3. Dieses bedeutet, daß a und (zu-
gleich) gelte, also z. B. „, es bestehe Teilbarkeit (einer Zahl) durch 2
und es bestehe Teilbarkeit durch 3 (zugleich)". aß aber müßte in
diesem Falle bedeuten Teilbarkeit durch 2 und Teilbarkeit durch 3"
so aufgefaßt, wie wenn wir über diese beiden zugleich etwas aussagen
wollen, etwa „Teilbarkeit durch 2 und Teilbarkeit durch 3 (d. h. alle Fälle
des einen und alle des andern, also alle Fälle von Teilbarkeit durch 2
oder durch 3) sind Soseinsobjektive (d. h. Fälle von Sosein)" u. dgl.
Das Zeichen + drückt also, wenn wir auf die psychischen Akte achten
wollen, eine Verknüpfung von Gegenständen aus, die durch diesen
1) Für den Gebrauch der Klammern sind hier die Regeln vorausgesetzt, die
für die entsprechend gebauten arithmetischen Ausdrücke gelten.
2) Vgl. Couturat, a. a. O. S. 17. Die Unbeweisbarkeit dieses Satzes aus den
vorhergehenden hat Schröder dargetan. (Algebra der Logik, 1. Bd., Anhang 4, 5, 6.
Vergleiche auch 2. Bd., S. 409 ff.)
3) Vergleiche auch 39.