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Der Beweis folgt aus der Kommutativität der additiven Objektiv-
verknüpfung, wenn man sie auf die Voraussetzungen (л ←a) + (Ã < ß)
u. s. w. anwendet.
16. (Satz.)
(y < a) + (y < ß) = (y < a × ß).
Der Beweis ergibt sich aus der Definition (14) analog wie der
zu 12 aus 10.
17. (Satz.)
(a < ß) = (a X ß
= a).
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„Absorption": Der Faktor 8, der den andern Faktor a ein-
schließt, wird von ihm absorbiert". Zum Beispiel: Durch 2 teilbar sein
oder (auch) durch 4 teilbar sein, ist dasselbe, wie durch 2 teilbar sein.
Denn ist eine Zahl durch 2 teilbar, so ist sie von da aus
mög-
licherweise auch durch 4 teilbar, also durch 2 oder (auch) 4 teilbar,
und ist eine Zahl durch 2 oder (auch) durch 4 teilbar, so ist sie jeden-
falls durch 2 teilbar.
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Der Beweis ergibt sich aus dem vorhergehenden Satze und der
Definition von aXB und ist dem Beweise zu 13 analog.
18. (Satz.) Zu zwei Klassen a, b gibt es immer eine Klasse s,
so daß
sa, sb,
s⇒ x
jedoch
ist, für jedes x, für das
x ← a, x < b
(ebenfalls) gilt.
Beweis. Zu a, b gibt es die definierenden Objektive a, ẞ als re-
ziprok entsprechende „Terme"¹). Dann gibt es nach 10 ein Objektiv o,
das der Definition der logischen Summe a genügt. Auch gibt es
zu o eine Klasse als reziprok entsprechenden Term (sie kann, unter
Umständen, allerdings auch eine „leere Klasse" sein, vgl. 30). Eben diese
Klasse ist aber s. Denn die definierenden Relationen für s (in 18) sind
die reziproken Entsprechungen der definierenden Relationen für σ (in 10).
19. (Definition.) Die Klasse s, die zu a und b in den in 18
angegebenen Beziehungen steht, nennen wir das logische Produkt
dieser Klassen und setzen
s = a.b=a b,
weil die Einschließungs-(nämlich Einordnungs-)Beziehungen, in denen
s zu a und b steht, mit den Einschließungs-(nämlich Folge-)Beziehungen
formal übereinstimmen, in denen das logische Produkt aẞ zu
a und steht (vgl. 14). Da aber diese formal übereinstimmenden Be-
ziehungen fürs Einordnungs-, für dagegen Folgebeziehungen sind,
werde für das Klassenprodukt (ab) doch eine andere Anschreibung ge-
braucht als für das Objektivprodukt (a X 8).
Folgerung. Das Klassenprodukt ab ist die Klasse der Dinge,
die a und ẞ, also a ß erfüllen, daher das größte gemeinsame
1)Term" sei die allgemeine Benennung, die sowohl auf Objektive als auch
auf Klassen angewendet werde. Vgl. Couturat, a. a. O. S. 4.