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Andererseits ist die Definition von aß deshalb, weil sie von
der Verknüpfung, die definiert wird, schon Gebrauch macht, nicht zirkel-
haft. Denn um diese Verknüpfung (der Voraussetzungen in der Definition)
vorzunehmen, muß man noch nicht wissen, worin sie besteht.
12. (Satz.)
(ra) (y }) = (y > a ← B).
+
Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der Definition von a ß.
Denn ist ya und ẞ, so ist y eines der Objektive § der Definition,
und dann ist yaß. Ist umgekehrt yaß, so folgt aus der-
selben Definition und T, daß ya und daß yẞ ist.
13. (Satz.)
(a B) = (a + B = B).
Absorption": der Summand a, der in ẞ eingeschlossen ist, wird
vom Summanden ẞ „absorbiert“. Zum Beispiel: Durch 2 teilbar sein und
durch 4 teilbar sein, ist dasselbe, wie durch 4 teilbar sein, da die Teil-
barkeit durch 2 in der Teilbarkeit durch 4 impliziert ist.
Beweis. Ist aẞ, so folgt, da immer auch ßß ist, nach dem
vorhergehenden Satze a BB. Da auch aßß ist, ergibt sich
a + B = B.
"
Umgekehrt: ist aẞ
aß
=
ß, also a
vorhergehenden Satze: aß (neben ßß).
ла, ñß,
n< a, n < ß
jedoch
für jedes Objektiv n, für das
14. (Definition und Grundsatz.) Ist
ßß, so folgt nach dem
πλη
gilt, so heiße das Objektiv л das logische Produkt der Objektive
a und ß, und wir setzen
π= α Χ β.
Zu zwei Objektiven a, ẞ gibt es immer ein logisches Produkt a X ß.
Nach der Erklärung ist oder a XB, gesprochen „a oder 81),
ein Objektiv, das sowohl aus a folgt als auch aus ẞ folgt, also gilt,
wenn a zutrifft, und auch gilt, wenn ẞ zutrifft. Und zwar ist es unter
allen Objektiven (n), die aus a und auch aus ẞ folgen, dasjenige, das
jedes solchen seinerseits (als eine Folge) einschließt, also das Objektiv,
das alle gemeinsamen Folgen des a und des ẞ zu Folgen hat und
selbst gemeinsame Folge von a und von 8 ist. Man kann es die
größte gemeinsame Folge" der Objektive a, ẞ nennen.")
15. (Satz.)
axB=BX a.
β
1) „Oder" im Sinne von „oder auch", also ohne die Implikation gegenseitiger
Ausschließung der durch „,oder" verbundenen Objektive.
2) Das hier definierte Objektivprodukt ist nicht zu verwechseln mit dem
Voigtschen Inhaltsprodukt (vgl. Schröder, Algebra der Logik, 2. Bd., S. 411 ff.).
Will man es auch als Inhaltsprodukt auffassen, so ist „Inhalt" im Sinne des § 4 zu
verstehen.
1
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